Autvalores

Teorema: los valores propios de una matriz triangular son las componentes diagonales de la matriz.

Demostracion: Si A=                       entonces A - ?I =

y como el det de una matriz triangular es igual al producto de las componentes de la diagonal principal, resulta que:

det (A - ?I)=(a₁₁- ?)(a₂₂- ?).. (a_nn- ?) cuyas raices son a_{11 ,} a₂₂ , .. a_nn.

Definicion de matrices semejantes: Se dice que dos matrices A y B de orden n x n son semejantes si existe una matriz invertible C de orden n x n tal que B = C^-1 AC

Teorema: Si A y B son matrices semejantes de orden n x n, entonces A y B tienen el mismo polinomio caracteristico y, por lo tanto, tienen los mismos valores propios.

Definicion de matriz diagonalizable: Una matriz A n x n es diagonalizable si existe una matriz diagonal D tal que A es semejante a D. Si D es una matriz diagonal, entonces los valores propios son sus componentes en la diagonal. Como A es semejante a D, entonces A y D tienen los mismos valores propios. Si A es diagonalizable, entonces A es semejante a una matriz diagonal cuyas componentes en la diagonal son los valores propios de A.

Teorema: Una matriz A de orden n x n es diagonalizable si y solo si tiene n vectores propios linealmente independientes. En tal caso la matriz diagonal D semejante a A esta dada por:

D=                                donde ?₁; ?₂;.. ?_n

son los valores propios de A. Si C es una matriz cuyas columnas son vectores propios L.I de A, entonces D= C^-1 AC.

Si la matriz A de orden n x n tiene n valores propios diferentes, entonces A es diagonalizable.