Matrices: multiplicación, rangos, determinantes, inversa y Teorema de Rouché-Fröbenius

Clasificado en Matemáticas

Escrito el en español con un tamaño de 156,06 KB

 

Tipos de sistemas
Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar según el número de soluciones que pueden presentar. De acuerdo con ese caso se pueden presentar los siguientes casos:
·Sistema incompatible si no tiene ninguna solución.
·Sistema compatible si tiene alguna solución, en este caso además puede distinguirse entre:
oSistema compatible determinado cuando tiene un número finito de soluciones.
oSistema compatible indeterminado cuando admite un conjunto infinito de soluciones.
Quedando así la clasificación:
Imagen
Cálculo del rango de una matriz por determinantes
Imagen
1. Podemos descartar una línea si:.
·Todos sus coeficientes son ceros.
·Hay dos líneas iguales.
·Una línea es proporcional a otra.
·Una línea es combinación lineal de otras.
Suprimimos la tercera columna porque es combinación lineal de las dos primeras: c3 = c1 + c2
Imagen
2. Comprobamos si tiene rango 1, para ello se tiene que cumplir que al menos un elemento de la matriz no sea cero y por tanto su determinante no será nulo.
|2|=2?0

3. Tendrá rango 2 si existe alguna submatriz cuadrada de orden 2, tal que su determinante no sea nulo.
Imagen
4. Tendrá rango 3 si existe alguna submatriz cuadrada de orden 3, tal que su determinante no sea nulo.
Imagen
Como todos los determinantes de las submatrices son nulos no tiene rango 3, por tanto r(B) = 2.
5. Si tiene rango 3 y existe alguna submatriz de orden 4, cuyo determinante no sea nulo, tendrá rango 4. De este mismo modo se trabaja para comprobar si tiene rango superior a 4.
Determinante
3x3
Imagen
Imagen
Discusión de sistemas: Teorema de Rouché-Fröbenius

La condición necesaria y suficiente para que un sistema de m ecuaciones y n incógnitas tenga solución es que el rango de la matriz de los coeficientes y el de la matriz ampliada sean iguales.
·r = r' Sistema Compatible.
or = r'= n Sistema Compatible Determinado.
or = r'? n Sistema Compatible Indeterminado.
·r ? r' Sistema Incompatible.
Estudiar y resolver, si es posible, el sistema:
En este tema, discutiremos los sistemas de ecuaciones con parámetros utilizando determinantes y el teorema Rouché-Fröbenius.
Imagen
1. Hallamos el rango de la matriz de los coefecientes.
Imagen
Imagen
Imagen
Imagen

2. Hallamos el rango de la matriz ampliada.
Imagen
Imagen

3. Aplicamos el teorema de Rouché
Imagen
Imagen
4. Resolvemos el sistema compatible determinado por la regla de Cramer (tambíén se puede resolver mediante el método de Gauss).
Imagen
Imagen
Imagen
Imagen

Cálculo de la matriz inversa
Imagen
Imagen
Imagen
Imagen
Imagen

Cálculo de la matriz inversa
Imagen
1. Calculamos el determinante de la matriz, en el caso que el determinante sea nulo la matriz no tendrá inversa.
Imagen
2. Hallamos la matriz adjunta, que es aquella en la que cada elemento se sustituye po su adjunto

Imagen



3. Calculamos la traspuesta de la matriz adjunta.
Imagen
4. La matriz inversa es igual al inverso del valor de su determinante por la matriz traspuesta de la adjunta.
Imagen
Fórmulas de ecuaciones matriciales

1er caso
X + B = C
X + B ? B = C ? B
X = C ? B
2º caso
AX = C
Si existe la inversa de A, |A|? 0
A-1 A X = A-1 C
I X = A-1 C
X = A-1 C
3er caso
XA = C
Si existe la inversa de A, |A|? 0
A A-1 X =C A-1
I X =C
A-1
X = C A-1
4º caso
AX + BX = C
(A + B) X
= C
(A + B)-1 (A + B) X
= (A + B)-1 C
I X = (A + B)-1 C
X = (A + B)-1 C
Multiplicación matrices
Imagen
Multiplico filas por columnas