Continuidad

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Th. Bolzano: Ecuacion

Interpretación geométrica: El th de Bolzano nos indica el hecho geometrico de que una curva tiene sus extrems en distintos semiplanos respecto al eje OX debe cortar el eje X (grafica 1) Este th garantixa la existencia de al menos un punto C, pero no indica que sea el unico: (grafica 2) Sin la hipotesis de continuidad de f, el th puede ser falso.

Th. Bolzano-Weierstrass: EcuacionSea f una funcion contunua en un intervalo cerrado, entonces la funcion alcanza un max. y un min. en Ecuacion

  1. Ecuacion
  2. Ecuacion


Derivada de una función en un pto. : Definimos tangente como la recta que pasa por A y tiene como pendiente el limite de las pendientes de las rectas que pasan por A y un punto A1 cuando A1 se aproxmia a A: Si A1 (x1, y1) y A (x0,y0): x1=x0+hEcuacionR . Ademas si EcuacionEntonces, la pendiente a la tangente a la función Ecuacion

Ecuacion

Sea Ecuacion , una funcion real de variable real y sea Ecuacion. Se define la derivada de f en x0 al limite (si existe):

Ecuacion

Si existe limite por la derecha(hacer limite) se dice que es derivable por la derecha en x0

Si existe limite por la izquierda(hacer limite) se dice que es derivable por la izquierda en x0.

th: si f es derivable en x0 entonces f es continua en x0 pero cuando una f es continua no tiene por que ser derivable.