Autovalores

Autovalores y autovectores.

Definicion: Sea A una matriz n x n con componentes reales. el numero ? (real o

complejo) se llama autovalor de A si existe un vector diferent de 0 v en Cⁿ tal que

Av=?v.    El vector v?0 se llama autovector de a correspondiente al autovalor ?.

si A es la matriz identidad,entonces para cualquier vector v  Cⁿ se cumple Av=Iv=v.

Asi,?=1 es el unico valor propio de A, y todo v?0,vCⁿ es un vector propio de I.

Si ? es un valor propio de A,entonces existe un vector v?0 tal q Av=?v=?Iv.

Reescribiendo resulta: Av - ?Iv=0 (A - ?I)v=0 q es un sistema homogeneo de n ecuaciones con n incognitas. Como el sist. tiene soluciones no triviales,se debe cumplir q Det (A - ?I)=0. Si Det (A - ?I)?0 entonces la unica solucion de (A - ?)v=0 es v=0 y ? ya no seria un autovalor de A. Se tiene asi el siguiente teorema.

Teorema: Sea A una matriz de orden n x n. Entonces ? es un valor propio de A si y solo si p(?)= det (A - ?I)=0. La ecuacion det (A - ?I)=0 se llama ecuacion caracteristica de A y p(?) se llama polinomio caracteristico de A. Contando multiplicidades, toda matriz de orden n x n tiene n autovalores.

Teorema: Si ? es un valor propio de A de orden n x n y E  =  v/ Av = ?v  . Entonces E es un subespacio de Cⁿ.

Demostracion: Si Av=?v Av - ?I=0 E es el espacio nulo de A o espacio solucion del sistema homogeneo (Av - ?I)=0 y por lo tanto es un subespacio de Cⁿ.

Definicion: Sea ? un valor propio de A, el subespacio E se llama espacio propio de A correspondiente al valor propio ?.

Teorema: Sea A una matriz de orden n x n y sean ? ;? ....;? los valores propios distintos de A con vectores propios correspondientes v ;v ...;v . Entonces v ;v ; ...v  son linealmente independientes. Es decir q los vectores propios correspondientes a valores propios distintos son L.I