Potencias

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Potencia de exponente 0

Cualquier número a \in\mathbb{R}\, elevado a 0, distinto de 0, es igual a 1

a^0 = 1\,

Potencia de exponente 1

Toda potencia de exponente 1 es igual a la base.

a^1 = a \,

ejemplo:

54^1=54 \,

Multiplicación de potencias de igual base

El producto de dos o más potencias de igual a base «a» es igual a la base elevada a la suma de los correspondientes exponentes (la misma base y se suman los exponentes):

a^m \cdot a^n = a^{m + n}

ejemplos:

9^3 \cdot 9^2 = 9^{3+2}= 9^5

División de potencias de igual base

La división de dos potencias de igual base a es igual a la base a y elevada a la resta de los exponentes respectivos.

\frac{a^m}{a^n} = a^{m - n}

ejemplo:

\frac{9^5}{9^3} = 9^{5-3}= 9^2

Potencia de un producto

La potencia de un producto es igual a cada uno de los factores del producto elevados al exponente de dicha potencia. Es decir, una potencia de base (a.b) y de exponente "n", es igual al factor "a" elevado a "n" por el factor "b" elevado a "n"

(a \cdot b)^n=a^n \cdot b^n

Potencia de una potencia

La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a elevada a la multiplicación de ambos exponentes (la misma base y se multiplican los exponentes):

(a^m)^n = a^{m \cdot n}

Propiedad distributiva

La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división:

(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n
\Big(\frac{a}{b}\Big)^n = \frac{a^n}{b^n}

pero no lo es con respecto a la suma ni a la resta.

Propiedades que no cumple la potenciación

No es distributiva con respecto a la adición y sustracción:

(a + b)^m \neq a^m + b^m
(a - b)^m \neq a^m - b^m


no cumple la propiedad conmutativa, exceptuando aquellos casos en que base y exponente tienen el mismo valor o son equivalentes.

En general:

a^b \neq b^a

Tampoco se cumple la propiedad asociativa:

a^{b^c}=a^{(b^c)}\ne (a^b)^c=a^{(b\cdot  c)}=a^{b\cdot c}

Potencia de base 10

En las potencias con base 10, el resultado será la unidad desplazada tantas posiciones hacia la izquierda o hacia la derecha como indica el exponente. Con un exponente positivo se desplaza hacia la izquierda y con un exponente negativo se desplaza hacia la derecha.

Ejemplos:

10^{-5}=0,00001 \,
10^{-4}=0,0001 \,
10^{-3}=0,001 \,
10^{-2}=0,01 \,
10^{-1}=0,1 \,
10^0=1 \,
10^1=10 \,
10^2=100 \,
10^3=1.000 \,
10^4=10.000 \,
10^5=100.000 \,
10^6=1.000.000 \,

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