Demostraciones topología 1

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(clase de equivalencia y cjto cociente) SeaA un cjto, y 1na relax de equivalencia definida en él. Se llama "clase de equivalencia de a"    =  al cjto formado por los elements de A q están relacionados con a. Al cjto de tdas las clases de equivalencia se le llama"cjto cociente"y se denota A/ . (de endomorfismo diagonalizable)Sea f:E→E  1endomorfismo dun espacio vect real E≠{}de dimensión finita Se dice que f es "diagonalizable" si 3 una base de E en laqla matriz de f es diagonal. La matriz A es "diagonalizable" ⇔ 3en matrices cuadradas de orden n, B invertible, y D diagonal, tales que D= B⁻¹AB, dnd A es la matriz asociada a f, B es la matriz cuyas co-lumnas son los vectores propios de f y D la matriz cuya diagonal son los valores propios de f.teorema de diagonalizaciónSea f: E→E un endomor de un espacio vect real E≠{} de dimensión finita n y sea A la matriz asociada a f en una base cualquiera de E y sea P(x)=⋅...⋅   el polinomio característico de A. Entonces:f es diagonalizable ⇔  (1) m₁ +...+= n(2) dim V( ) =    ∀i = 1,...p  

 



1)Un punto  x∈ℝⁿ  es un pto de acumulax de A⊂ℝⁿ ⇔  tdo entorno de x contiene infinitos ptos de A.⇒) Supongamos que x es punto de acumulax y q existiera un entorno de x q sólo contuviera un nº finito de ptos de A distintos de x.Sean  x₁,...,xs estos ptos.  Sea  r=min d(x,xi) pra i=1,...,s Cualquier bola de centro x y radio menor que r no contiene ningún punto de A distint de x, lo q contradice que éste sea un pto de acumulax de A.⇐) ⇒ dixo entorno corta a A en ptos distints de x, q es la definix de q x es pto de acumulax de A.(2) Un subcjto A ⊂ ℝⁿ  es cerrado ⇔ contiene tdos sus ptos de acumulax.⇒) Supongamos q A es cerrado y P un pto de acumulax de A. Vamos a ver q  P∈A.  Si no fuera así,⇒P pertenecería al complementario de A  (ℝⁿ-A)  q es abierto y según la definix de abierto existiría B(P,r) ⊂ Ac . Esta bola no cortaría a A y muxo menos reducida, por lo q P no sería pto de acumulax de A, en contra de lo supuesto, Por tanto P∈A.⇐) Supongamos q A contiene tods sus ptos de acumulax, es decir A′⊂A. Vamos a ver q Ac es un cjto abierto. Sea P∈Ac. Supongamos q no fuera abierto⇒ninguna bola centrada en P estaría contenida en Ac y toda bola centrada en P tendría pts de A podríamos decir q toda bola reducida de centro P contiene puntos de A ⇒ P∈A′ ⊂ A ⇒ P∈ A y habíamos supuesto lo contrario. Por tanto Ac es abierto y entonces A es cerrado (3) Si A es finito no tiene puntos de acumulacion. Supongamos q P fuera un pto de acumulax de A, ⇒una (P, r) sólo podría contener un nº finito de puntos de A; sea P′ el punto de A más cercano a P y sea r′ su distancia; si tomamos r" <>′ en (P,r") no podría haber un solo pto de A y por ello P no puede ser pto de acumulx de A.

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