Formas Cuadráticas, Matrices y Vectores
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TEMA 1
OPERACIONES CON MATRICES
Suma
- asociativa (A+B) + C = A (B+C)
- elemento neutro A + 0 = 0 + A = A
- simétrico su matriz opuesta= -A // -A+A=0
- conmutativa A+B = B+A
Producto de un número real
- t * (A+B) = t*A+t*B
- (t*s)*A = (t*s)*A
- 1*A= A
Producto de matrices
- asociativa (A*B)C = A(B*C)
- distribución respecto a la suma = (A+B)C=AC+BC
- conmutación: el producto de matrices NO conmuta AB≠BA
Matriz transpuesta
- (At)t=A
- (A+B)t = At + Bt
- (s*A)t=s*At
- (A*B)t=Bt+At
- (An)t=(At)n
Determinantes
- si una matriz se intercambia dos filas o columnas el determinante cambia de signo.
- si en una matriz se multiplica una fila o una columna por un numero real, el determinante de la matriz resultante es igual al determinante de la matriz resultante es igual al determinante de la matriz inicial por el número real.
- el determinante de una matriz con una fila o columna cuyos elementos sean 0 es 0
- el determinante de una matriz con dos filas o dos columnas iguales es 0
- el determinante de una matriz triangular es el producto de los elementos situados en la diagonal principal.
TEMA 2
VALORES Y VECTORES PROPIOS. ECUACIÓN CARACTERISTICA
- Se dice que un vector distinto de 0 es un vector propio de A si existe λ ϵ IR tal que A * X = λ *X
- Se dice que λ ϵ IR es un valor propio de A si existe X ≠ 0 tal que A*X=λ*X
* proposición 1 à a cada valor propio le corresponde ∞ vectores propios
* proposición 2 à a cada vector propio le corresponde un único valor propio.
Definición:
- Al conjunto de vectores propios asociados al valor propio λ se les llama subespacio propio: S (λ). De tal manera que la dimensión de subespacio es:
Dim S(λ) = n – Rg (A – λI)
- Al polinomio [A – λI] se le llama polinomio característico.
[A – λ] = 0 se llama ecuación característica.
DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES CUADRADAS
- A es diagonalizable si existe una matriz P regular tal que P-1*A*P = D
- A y B se dicen semejantes cuando B = P-1*A*P
- Teorema 1 à si A tiene n vectores, linealmente independientes entonces podemos afirmar que A es diagonalizable.
- Teorema 2 à A es diagonalizable si tiene n valores propios simples
- Teorema 3 à si la dimensión del subespacio propio (Dim S(λ)) coinciden con la multiplicidad del valor propio (numero de veces que esta repetido un valor propio) entonces A es diagonalizable
- Si x es vector propio asociado al valor propio λ entonces k * X es vector propio asociado al mismo λ
- Si A es diagonalizable entonces existe P regular : P-1*A*P=D à A*P=D*P
An=P*Dn*P-1
- A es diagonal: existe P regular tal que : P-1*A*P=D
[P-1*A*P]=[D]
[P-1]*[A]*[P]=[D]
1/[P]*[A]*[P]=[D]
[A]=[D]
- A es diagonalizable tal que: P-1*A*P=D à A= P *D* P-1
Matrices simétricas
- toda matriz simétrica es siempre diagonalizable. Además se puede encontrar una matriz ortogonal tal que: Pt*A*P=D
- A es semejante a B à P-1*A*P=B à por lo que tendrá los mismos valores propios
[A – λI] = [B – λI] A y B tienen los mismo valores propios
TEMA 3
Definición: expresión polinómica y la expresión matricial.
Se dice que una forma cuadrática Q es una aplicación de IRn en IR que transforma a todo vector X en un número real dado por la siguiente expresión:
Q(x1, x2,…,xn) = Xt*A*X
Definición cuando calculamos por valores propios o cuadrados perfectos:
- Q es definida positiva si Q(x) > 0
- Q es definida negativa si Q(x) < 0
- Q es semidefinida positiva si Q(x) ≥ 0
- Q es semidefinida negativa si Q(x) ≤ 0
- Q es indefinida si para unos valores x: Q(x) ≥ 0
Q(x) ≤ 0
- La matriz A y B que cumplen à PtA*P=B
- Ak= λk
Definición con menores principales à
+ - + - + + + + + - 0 0 DP DN SDP SDN |
DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES CUADRADAS
- A es diagonalizable si existe una matriz P regular tal que P-1*A*P = D
- A y B se dicen semejantes cuando B = P-1*A*P
- Teorema 1 à si A tiene n vectores, linealmente independientes entonces podemos afirmar que A es diagonalizable.
- Teorema 2 à A es diagonalizable si tiene n valores propios simples
- Teorema 3 à si la dimensión del subespacio propio (Dim S(λ)) coinciden con la multiplicidad del valor propio (numero de veces que esta repetido un valor propio) entonces A es diagonalizable
- Si x es vector propio asociado al valor propio λ entonces k * X es vector propio asociado al mismo λ
- Si A es diagonalizable entonces existe P regular : P-1*A*P=D à A*P=D*P
An=P*Dn*P-1
- A es diagonal: existe P regular tal que : P-1*A*P=D
[P-1*A*P]=[D]
[P-1]*[A]*[P]=[D]
1/[P]*[A]*[P]=[D]
[A]=[D]
- A es diagonalizable tal que: P-1*A*P=D à A= P *D* P-1
Matrices simétricas
- toda matriz simétrica es siempre diagonalizable. Además se puede encontrar una matriz ortogonal tal que: Pt*A*P=D
- A es semejante a B à P-1*A*P=B à por lo que tendrá los mismos valores propios
[A – λI] = [B – λI] A y B tienen los mismo valores propios
TEMA 3
Definición: expresión polinómica y la expresión matricial.
Se dice que una forma cuadrática Q es una aplicación de IRn en IR que transforma a todo vector X en un número real dado por la siguiente expresión:
Q(x1, x2,…,xn) = Xt*A*X
Definición cuando calculamos por valores propios o cuadrados perfectos:
- Q es definida positiva si Q(x) > 0
- Q es definida negativa si Q(x) < 0
- Q es semidefinida positiva si Q(x) ≥ 0
- Q es semidefinida negativa si Q(x) ≤ 0
- Q es indefinida si para unos valores x: Q(x) ≥ 0
Q(x) ≤ 0
- La matriz A y B que cumplen à PtA*P=B
- Ak= λk
Definición con menores principales à
+ - + - + + + + + - 0 0 DP DN SDP SDN |