Matrices: multiplicación, rangos, determinantes, inversa y Teorema de Rouché-Fröbenius

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Tipos de sistemas
Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar según el número de soluciones que pueden presentar. De acuerdo con ese caso se pueden presentar los siguientes casos:
·Sistema incompatible si no tiene ninguna solución.
·Sistema compatible si tiene alguna solución, en este caso además puede distinguirse entre:
oSistema compatible determinado cuando tiene un número finito de soluciones.
oSistema compatible indeterminado cuando admite un conjunto infinito de soluciones.
Quedando así la clasificación:
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Cálculo del rango de una matriz por determinantes
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1. Podemos descartar una línea si:.
·Todos sus coeficientes son ceros.
·Hay dos líneas iguales.
·Una línea es proporcional a otra.
·Una línea es combinación lineal de otras.
Suprimimos la tercera columna porque es combinación lineal de las dos primeras: c3 = c1 + c2
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2. Comprobamos si tiene rango 1, para ello se tiene que cumplir que al menos un elemento de la matriz no sea cero y por tanto su determinante no será nulo.
|2|=2?0

3. Tendrá rango 2 si existe alguna submatriz cuadrada de orden 2, tal que su determinante no sea nulo.
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4. Tendrá rango 3 si existe alguna submatriz cuadrada de orden 3, tal que su determinante no sea nulo.
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Como todos los determinantes de las submatrices son nulos no tiene rango 3, por tanto r(B) = 2.
5. Si tiene rango 3 y existe alguna submatriz de orden 4, cuyo determinante no sea nulo, tendrá rango 4. De este mismo modo se trabaja para comprobar si tiene rango superior a 4.
Determinante
3x3
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Discusión de sistemas: Teorema de Rouché-Fröbenius

La condición necesaria y suficiente para que un sistema de m ecuaciones y n incógnitas tenga solución es que el rango de la matriz de los coeficientes y el de la matriz ampliada sean iguales.
·r = r' Sistema Compatible.
or = r'= n Sistema Compatible Determinado.
or = r'? n Sistema Compatible Indeterminado.
·r ? r' Sistema Incompatible.
Estudiar y resolver, si es posible, el sistema:
En este tema, discutiremos los sistemas de ecuaciones con parámetros utilizando determinantes y el teorema Rouché-Fröbenius.
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1. Hallamos el rango de la matriz de los coefecientes.
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2. Hallamos el rango de la matriz ampliada.
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3. Aplicamos el teorema de Rouché
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4. Resolvemos el sistema compatible determinado por la regla de Cramer (tambíén se puede resolver mediante el método de Gauss).
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Cálculo de la matriz inversa
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Cálculo de la matriz inversa
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1. Calculamos el determinante de la matriz, en el caso que el determinante sea nulo la matriz no tendrá inversa.
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2. Hallamos la matriz adjunta, que es aquella en la que cada elemento se sustituye po su adjunto

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3. Calculamos la traspuesta de la matriz adjunta.
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4. La matriz inversa es igual al inverso del valor de su determinante por la matriz traspuesta de la adjunta.
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Fórmulas de ecuaciones matriciales

1er caso
X + B = C
X + B ? B = C ? B
X = C ? B
2º caso
AX = C
Si existe la inversa de A, |A|? 0
A-1 A X = A-1 C
I X = A-1 C
X = A-1 C
3er caso
XA = C
Si existe la inversa de A, |A|? 0
A A-1 X =C A-1
I X =C
A-1
X = C A-1
4º caso
AX + BX = C
(A + B) X
= C
(A + B)-1 (A + B) X
= (A + B)-1 C
I X = (A + B)-1 C
X = (A + B)-1 C
Multiplicación matrices
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Multiplico filas por columnas

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