Ajuste de Mínimos Cuadrados: Fundamentos y Aplicaciones

Ajuste por Mínimos Cuadrados

El ajuste es una rama de la matemática aplicada cuyo objetivo es encontrar una solución única a un sistema de ecuaciones lineales superabundantes y determinar su precisión. Es decir, cuando n > u, donde:

n = número de ecuaciones (observaciones)

u = número de incógnitas (parámetros)

Si n = u, existe una solución única. El objetivo del ajuste es adaptar nuestras observaciones a través de un modelo matemático, de manera que su solución represente la mejor estimación.

Conceptos Clave

Modelo matemático: Es una fórmula que representa una realidad física o funcional.

Mejor estimación: Se obtiene mediante el método de mínimos cuadrados.

Medida vs. Observación

Medida: Es el proceso de obtención de un ángulo, distancia, etc.

Observación: Es el resultado de esa medida (10°, 20 cm, etc.). Estas tienen una precisión, a la cual le asignamos un peso. Trabajaremos con la varianza.

Modelo matemático: Es la expresión que representa una realidad física con suficiente precisión (modelo teórico).

Ejemplo: ax + by + cz + d = 0 (ecuación de un plano)

Modelo matemático funcional: Es la fórmula matemática que representa una situación.

Lo más importante del ajuste es encontrar el modelo matemático que representa la situación.

Modelo matemático de ajuste (estocástico o probabilístico): Es la formulación matemática que se empleará para realizar el ajuste. Este modelo permite encontrar los parámetros por medio de una función aplicada a las observaciones. Su elección depende de la forma del modelo matemático funcional.

L_a = observaciones; x_a = parámetros; F = modelo matemático funcional

La desviación estándar muestra la dispersión.

Grados de Libertad y Errores

GRADOS DE LIBERTAD (redundancia): r = (n - u), donde n = número de ecuaciones y u = número de incógnitas.

ERROR GROSERO (ε > 3σ): Es aquel cuyo valor excede 3 veces la desviación estándar.

Esperanza Matemática

Esperanza matemática: Es el valor esperado de un conjunto de observaciones.

Propiedades de la Esperanza Matemática

• E(c) = c
• E(E(x)) = E(x)
• E(x + y) = E(x) + E(y)
• E(cx) = c * E(x)
• E(x * y) = E(x) * E(y)
• E(x²) ≠ (E(x))²

Varianza

Varianza: Sea una función g(x) donde: g(x) = (x - E(x))² = (x - μ_x)²

La esperanza de esta función es llamada varianza de x.

DESVIACIÓN ESTÁNDAR: σ_x = √σ²_x

Covarianza

Covarianza: Es el grado de dependencia entre dos variables y representa el grado de dependencia lineal entre ellas.

Momentos de una Variable Aleatoria

Para 2 variables aleatorias se tiene: M_LN = E((x - μ_x)^L (y - μ_y)^N)

Matriz Varianza-Covarianza

Matriz Varianza-Covarianza (o momento de orden 2)

Coeficiente de Correlación

Coeficiente de correlación: Es el grado de relación entre las variables. Cuando es cero, son variables independientes.

NOTA: Las observaciones no correlacionadas son independientes y su covarianza es 0.