Álgebra Lineal y Cálculo: Optimización y Espacios Vectoriales

Álgebra Lineal

1. Base y Ecuaciones Paramétricas del Subespacio

Objetivo: Facilitar una base y dar las ecuaciones paramétricas del subespacio. El problema proporciona un sistema de ecuaciones con x, y y z.

Solución: Igualamos a 0 cada ecuación. Si una variable no aparece, se considera un parámetro. Calculamos la dimensión y de ahí se obtiene el número de bases. Después, se dan valores y se resuelve el sistema de ecuaciones.

2. Variable Lineal en R⁴

Objetivo: Considerando la variable lineal en R⁴ y los vectores (1, 0, 1, 0) y (-1, 2, -k, 0):

• a) Estudiar la dimensión generada según el valor del parámetro k.
• b) Facilitar las ecuaciones cartesianas en caso de que k = 0.

Solución:

• a) Colocamos los datos en columnas y mediante el cálculo del determinante, calculamos k. Si k es igual al valor obtenido, entonces el rango y la dimensión serán iguales. En caso contrario, el rango y la dimensión se mantienen.
• b) Sustituimos k = 0 y calculamos el rango. Colocamos la matriz principal con k = 0 y la última columna como (x, y, z, t). Calculamos el determinante y despejamos t. La solución es: S = {(x, y, z, t) ∈ R⁴ | ecuación de t}.

3. Sistema con x₁, x₂ y k

Objetivo: Dado un sistema con x₁, x₂ y kx, determinar el valor de k para que la dimensión sea 1 y dar una base.

Solución: Hacemos dim(S) = n - número de ecuaciones linealmente independientes = 1. Calculamos el determinante y despejamos k. Luego, resolvemos el sistema de ecuaciones linealmente independientes (nunca la que tiene k) y obtenemos los parámetros. Finalmente, damos valores a los parámetros para obtener la base.

4. Ecuaciones Cartesianas en R³

Objetivo: Dadas las ecuaciones cartesianas en R³ (x₂ = x₁), calcular la dimensión y dar un sistema generador que no sea base. Además, dar las ecuaciones paramétricas.

Solución: La dimensión es igual a n - número de ecuaciones linealmente independientes. Damos valores (1, 0) y (0, 1) que serían base, y otro valor inventado que no sería base. Para las ecuaciones paramétricas, expresamos las variables en función de los parámetros.

5. Base del Sistema de Ecuaciones

Objetivo: Encontrar una base del sistema de ecuaciones con x₁, x₂, etc.

Solución: Representamos el sistema en forma matricial y calculamos el rango. La dimensión es dim(S) = n - rango. Resolvemos el sistema de ecuaciones linealmente independientes y despejamos las variables. Finalmente, damos valores a los parámetros para obtener la base.

6. R⁵ con Ecuaciones

Objetivo: Dado un sistema en R⁵, encontrar:

• a) Base y dimensión.
• b) Ecuaciones paramétricas.

Solución:

• a) Representamos el sistema en forma matricial y calculamos el rango. La dimensión es dim = n - rango. Igualamos las ecuaciones a 0 y obtenemos los parámetros. Damos valores (1 y 0) y expresamos la base en función de la dimensión.
• b) Expresamos las variables en función de los parámetros y la base.

Aplicaciones Lineales

1. Relación entre Matrices

Objetivo: Dada la aplicación lineal f: R² → R² tal que f(1, 0) = (1, 1) y f(0, 1) = (0, -1), expresar la relación entre la matriz de dicha aplicación y su matriz semejante referida a una base de autovectores.

Solución: Construimos la matriz A con los vectores (1, 1) y (0, -1). Calculamos los autovalores y autovectores. Expresamos la relación A = P * D * P^-1, donde P es la matriz de autovectores y D es la matriz diagonal de autovalores.

2. Endomorfismo Diagonal

Objetivo: Sea f: R² → R² un endomorfismo diagonal tal que f(v₁) = v₁ y f(v₂) = 2v₂, y sea x = 2v₁ - 3v₂. Encontrar las coordenadas del vector f(x) en la base B = (v₁, v₂). Si B = (v₁(1, -2), v₂(0, 1)), calcular A¹⁰⁰⁰, siendo A la matriz asociada a f en la base canónica.

Solución: Calculamos f(x) = 2f(v₁) - 3f(v₂) = 2v₁ - 6v₂. Las coordenadas en B son (2, -6). Para calcular A¹⁰⁰⁰, utilizamos la diagonalización: A¹⁰⁰⁰ = P * D¹⁰⁰⁰ * P^-1.

3. Coordenadas en la Base Canónica

Objetivo: En R³, con la base B = (v₁ = e₁ - e₃, v₂ = e₂ - e₃, v₃ = e₁ - e₂), encontrar las coordenadas del vector x = -2v₁ + 2v₂ + v₃ en la base canónica E = (e₁, e₂, e₃).

Solución: Expresamos x en términos de la base B y resolvemos el sistema de ecuaciones para encontrar las coordenadas en la base canónica.

4. Coordenadas en R²

Objetivo: Encontrar las coordenadas del vector x = e₁ + 5e₂ en la base B = (v₁ = 2e₁ + e₂, v₂ = e₁ + 2e₂), siendo E = (e₁, e₂) la base canónica de R².

Solución: Expresamos x en términos de la base B y resolvemos el sistema de ecuaciones para encontrar las coordenadas.

5. Cambio de Base para Diagonalizar

Objetivo: Encontrar, si es posible, un cambio de base que diagonalice el endomorfismo del sistema de ecuaciones dado.

Solución: Calculamos los autovalores y autovectores. Si la dimensión del espacio de autovectores es igual a la multiplicidad del autovalor, entonces es diagonalizable.

6. Relación entre Matrices en la Base Canónica

Objetivo: Dado un endomorfismo en R³, expresar, si es posible, la relación entre la matriz asociada a f en la base canónica y su matriz diagonal semejante.

Solución: Calculamos los autovalores y autovectores. Si es diagonalizable, expresamos la relación A = P * D * P^-1.

Cálculo y Optimización

1. Comportamiento y Tendencia de una Función

Objetivo: Dada la función f(x, y, z) = x² + 2y² + 2xz - yz, estudiar el comportamiento y la tendencia de f en el punto a = (1, -1, -1) y en la dirección v = (1, 1, 1).

Solución: Calculamos el gradiente, la matriz Hessiana, f'(a) y f''(a) para determinar el comportamiento y la tendencia de la función.

2. Optimización de una Función

Objetivo: Optimizar la función f(x, y) = 4x³ + y³ - 12x - 3y + 27 (maximizar y minimizar).

Solución: Calculamos las derivadas parciales, los puntos críticos y la matriz Hessiana para determinar los máximos y mínimos locales.

3. Comportamiento, Tendencia y Clasificación de un Punto

Objetivo: Dada la función f(x, y) = xy - 1/x + 1/y:

• a) Estudiar el comportamiento y la tendencia en el punto a = (1, -1) en la dirección v = (1, 1).
• b) Clasificar el punto a = (1, -1).

Solución: Calculamos el gradiente, la matriz Hessiana, f'(a) y f''(a). Clasificamos el punto a utilizando la matriz Hessiana.

4. Comportamiento, Tendencia y Optimización

Objetivo: Dada la función f(x₁, x₂) = x₁² + x₂² - 9x₁ - x₁x₂ + 3:

• a) Calcular su comportamiento y tendencia en el punto (8, 3) y en la dirección (1, 0).
• b) Optimizar la función.

Solución: Calculamos el gradiente, la matriz Hessiana, f'(a) y f''(a). Para optimizar, encontramos los puntos críticos y los clasificamos usando la matriz Hessiana.

5. Comportamiento Decreciente Decelerado

Objetivo: Dada f(x, y) de clase C² tal que ∇f(x, y) = (2(x - ay), 2(y - ax)), determinar los valores de a ∈ R que hacen que f presente un comportamiento decreciente decelerado en el punto (1, 1) y dirección (1, 2).

Solución: Calculamos el gradiente, la matriz Hessiana, f'(a) y f''(a) y analizamos las condiciones para un comportamiento decreciente decelerado.

6. Óptimos Relativos

Objetivo: Encontrar los óptimos relativos de la función f(x, y) = 2x³ + xy² + 5x² + y².

Solución: Encontramos los puntos críticos y los clasificamos usando la matriz Hessiana.

Teoría y Trucos

Fórmulas:

• λ² - tr(A)λ + det(A) = 0
• λ³ + tr(A)λ² - (a₁₁ + a₂₂ + a₃₃)λ + det(A) = 0

Clasificación de Puntos Críticos:

• a₁ > 0, a₂ > 0: Punto de mínimo.
• a₁ > 0, a₂ = 0: Punto de silla.
• a₁ < 0, a₂ > 0: Punto de máximo.
• a₁ < 0, a₂ = 0: Punto de silla.

Comportamiento y Tendencia:

• f' > 0: Creciente.
• f' < 0: Decreciente.
• f' = 0: Estacionario.
• f' > 0 y f'' > 0: Crece aceleradamente.
• f' > 0 y f'' < 0: Crece desaceleradamente.
• f' < 0 y f'' > 0: Decrece deceleradamente.
• f' < 0 y f'' < 0: Decrece aceleradamente.
• f' = 0 y f'' > 0: Tendencia convexa.
• f' = 0 y f'' < 0: Tendencia cóncava.

Clasificación de Puntos Críticos (Matriz Hessiana):

• Definida positiva: Mínimo local.
• Definida negativa: Máximo local.
• Indefinida: Punto de silla.

Función Gamma:

• Γ(p) = ∫₀^∞ x^p-1e^-xdx
• ∫₀^∞ x^p-1e^-axdx = Γ(p)/a^p
• ∫₀^∞ x^2p-1e^-ax2dx = (1/2)(Γ(p)/a^p)
• Γ(3/2) = (1/2)Γ(1/2) = (1/2)√π