Álgebra Lineal: Conceptos Clave y Ejercicios Resueltos

Expresión de un Vector como Combinación Lineal

Para expresar un vector como combinación lineal de otros:

1. Establece la ecuación:
   α(vector1) + β(vector2) + γ(vector3) = (vector a expresar)
2. Resuelve el sistema de ecuaciones utilizando el método de Gauss y compara el rango de la matriz de coeficientes (RgA) con el rango de la matriz ampliada (rgAmpl).

Cálculo de la Base y Dimensión de un Subespacio Vectorial

1. Dimensión: El número de parámetros libres necesarios para definir el subespacio. Si la condición del subespacio tiene 3 incógnitas y se puede expresar en función de 2 parámetros, la dimensión (DIM) será 2.
2. Base: Se obtiene asignando valores a los parámetros. Por ejemplo, si hay 2 parámetros, se pueden obtener 2 vectores de la base haciendo un parámetro igual a 1 y el otro a 0, y viceversa.

Consideraciones Adicionales

• Si el núcleo de una transformación lineal (Kerf) es el vector nulo (0,0,0), entonces la dimensión del Kerf es 0, ya que no se necesitan parámetros para definirlo.
• Para obtener la matriz asociada a una transformación lineal, se necesitan los vectores de la base y sus respectivas imágenes. La matriz se calcula resolviendo el sistema de ecuaciones A * M1 = M2, donde M1 son los vectores de la base original y M2 son sus imágenes.

Determinación de Sistemas Generadores

Para saber si un conjunto de vectores son un sistema generador:

1. Establece la ecuación:
   α(vector1) + β(vector2) + γ(vector3) = (a,b,c)
   (donde (a,b,c) representa un vector genérico).
2. Calcula el determinante de la matriz de coeficientes (sin las letras).
   • Si el determinante es diferente de 0, el rango de la matriz de coeficientes (RgA) es igual al número de incógnitas (m) y al rango de la matriz ampliada (rgAmpl), lo que implica que el sistema es compatible determinado (SCD) y los vectores son generadores.

Cálculo de la Imagen de un Vector

1. Multiplica la matriz de la transformación lineal por el vector del cual se quiere obtener la imagen.
2. El resultado de la multiplicación será la imagen del vector.

Base Canónica

La base canónica siempre será una matriz identidad con un tamaño variable.

Obtención de la Matriz Asociada a una Transformación Lineal

1. Establece la ecuación:
   (A)(base1/canónica) = (B)
   (donde A es la matriz del subespacio, base1 es la base dada y B es la matriz de las imágenes).
2. Resuelve la ecuación para obtener la matriz A.
3. Las filas de la matriz A serán los vectores que definen la transformación lineal.
4. Si se tiene otra base, se pueden establecer ecuaciones para encontrar las coordenadas de los vectores transformados en la nueva base.
5. Las soluciones de estas ecuaciones formarán la matriz asociada a la transformación lineal en la nueva base.