Algoritmos Fundamentales para la Búsqueda de Raíces de Ecuaciones No Lineales

Métodos Numéricos para la Solución de Ecuaciones

Método de Bisección

Para obtener una solución a f(x) = 0 dada la función f continua en el intervalo [a, b], donde f(a) y f(b) tienen signos opuestos:

Entrada

• Extremos del intervalo: a, b
• Tolerancia: TOL
• Número máximo de iteraciones: N

Salida

Solución aproximada p o mensaje de error.

Pasos del Algoritmo

1. Tome i = 1.
2. Calcule F_A = f(a).
3. Mientras i ≤ N (Número máximo de iteraciones), haga los pasos 4-7:
   1. Calcule el punto medio: p = a + (b - a) / 2.
   2. Calcule F_P = f(p).
   3. Si F_P = 0 o (b - a) / 2 < TOL, entonces: Salida (p) y PARAR (Éxito).
   4. Tome i = i + 1.
   5. Si F_A · F_P > 0, entonces (el punto medio reemplaza a):
      • Tome a = p.
      • Tome F_A = F_P.
      Sino (el punto medio reemplaza b):
      • Tome b = p.
4. Salida (FRACASO: El método falló después de N iteraciones).

Método de Punto Fijo

Para obtener una solución a p = g(p) dada una aproximación inicial p₀.

Entrada

• Aproximación inicial: p₀
• Tolerancia: TOL
• Número máximo de iteraciones: N

Salida

Solución aproximada p o fracaso.

Pasos del Algoritmo

1. Tome i = 1.
2. Mientras i ≤ N, haga los pasos 3-6:
   1. Calcule la nueva aproximación: p = g(p₀).
   2. Si |p - p₀| < TOL, entonces: Salida (p) y PARAR (Éxito).
   3. Tome i = i + 1.
   4. Defina la nueva aproximación inicial: p₀ = p.
3. Salida (FRACASO).

Método de Newton

Para obtener una solución a f(x) = 0 dada la función f diferenciable y una aproximación inicial p₀.

Entrada

• Aproximación inicial: p₀
• Tolerancia: TOL
• Número máximo de iteraciones: N

Salida

Solución aproximada p o fracaso.

Pasos del Algoritmo

1. Tome i = 1.
2. Mientras i ≤ N, haga los pasos 3-6:
   1. Calcule la nueva aproximación: p = p₀ - f(p₀) / f'(p₀).
   2. Si |p - p₀| < TOL, entonces: Salida (p) y PARAR (Éxito).
   3. Tome i = i + 1.
   4. Redefina la aproximación inicial: p₀ = p.
3. Salida (FRACASO).

Método de la Secante

Para encontrar una solución para f(x) = 0 dadas las aproximaciones iniciales p₀ y p₁.

Entrada

• Aproximaciones iniciales: p₀ y p₁
• Tolerancia: TOL
• Número máximo de iteraciones: N

Salida

Éxito (solución p) o fracaso.

Pasos del Algoritmo

1. Tome i = 2.
2. Calcule q₀ = f(p₀).
3. Calcule q₁ = f(p₁).
4. Mientras i ≤ N, haga los pasos 5-8:
   1. Calcule la nueva aproximación: p = p₁ - q₁ · (p₁ - p₀) / (q₁ - q₀).
   2. Si |p - p₁| < TOL, entonces: Salida (p) y PARAR (Éxito).
   3. Tome i = i + 1.
   4. Actualice las variables (Redefina p₀, p₁, q₀, q₁):
      • p₀ = p₁
      • q₀ = q₁
      • p₁ = p
      • q₁ = f(p)
5. Salida (FRACASO).

Método de la Posición Falsa (Regula Falsi)

Para encontrar una solución a f(x) = 0 dada la función continua f en el intervalo [p₀, p₁] donde f(p₀) y f(p₁) tienen signos opuestos.

Entrada

• Aproximaciones iniciales (extremos): p₀ y p₁
• Tolerancia: TOL
• Número máximo de iteraciones: N

Salida

Éxito (solución p) o fracaso.

Pasos del Algoritmo

1. Tome i = 2.
2. Calcule q₀ = f(p₀).
3. Calcule q₁ = f(p₁).
4. Mientras i ≤ N, haga los pasos 5-8:
   1. Calcule la nueva aproximación: p = p₁ - q₁ · (p₁ - p₀) / (q₁ - q₀).
   2. Si |p - p₁| < TOL, entonces: Salida (p) y PARAR (Éxito).
   3. Tome i = i + 1.
   4. Calcule q = f(p).
   5. Si q · q₀ > 0 (Si f(p) y f(p₀) tienen el mismo signo, el nuevo intervalo es [p, p₁]):
      • Tome p₀ = p.
      • Tome q₀ = q.
      Sino (Si f(p) y f(p₁) tienen el mismo signo, el nuevo intervalo es [p₀, p]):
      • Tome p₁ = p.
      • Tome q₁ = q.
5. Salida (FRACASO).