Análisis de Fourier y Métodos de Integración Numérica

Análisis de Fourier

Serie de Fourier (Continua)

La serie de Fourier de una función periódica f(t) con periodo T se define como:

$$ S_m(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{m} a_k \cos(k w_0 t) + \sum_{k=1}^{m} b_k \sin(k w_0 t) $$

donde w₀ = 2π/T y los coeficientes de Fourier se calculan como:

$$ a_k = \frac{2}{T} \int_{a}^{a+T} f(t) \cos(k w_0 t) dt, \quad k = 0, ..., m $$

$$ b_k = \frac{2}{T} \int_{a}^{a+T} f(t) \sin(k w_0 t) dt, \quad k = 1, ..., m-1 $$

Transformada Discreta de Fourier

Para una señal discreta f_i con n muestras, la transformada discreta de Fourier se define como:

$$ S_m(s) = \frac{a_0}{2} + A \cos(m \Omega_0 s) + \sum_{k=1}^{m-1} (a_k \cos(k \Omega_0 s) + b_k \sin(k \Omega_0 s)) $$

donde Ω₀ = 2π/n, A = a_m si 2m < n, y los coeficientes se calculan como:

$$ a_k = \frac{2}{n} \sum_{i=0}^{n-1} f_i \cos(k \Omega_0 i), \quad k = 0, ..., m $$

$$ b_k = \frac{2}{n} \sum_{i=0}^{n-1} f_i \sin(k \Omega_0 i), \quad k = 1, ..., m-1 $$

El tiempo t se puede obtener de la muestra s usando:

$$ t = \frac{b-a}{n}s + a $$

Métodos de Integración Numérica

Regla del Punto Medio

La regla del punto medio aproxima la integral de una función f(x) en el intervalo [a, b] usando el valor de la función en el punto medio del intervalo:

$$ \int_{a}^{b} f(x) dx \approx (b-a) f\left(\frac{a+b}{2}\right) $$

El error de aproximación está acotado por:

$$ \varepsilon \le \frac{(b-a)^3}{24} M $$

donde M = máx{|f''(x)|} en [a, b].

Regla del Punto Izquierdo

La regla del punto izquierdo aproxima la integral usando el valor de la función en el extremo izquierdo del intervalo:

$$ \int_{a}^{b} f(x) dx \approx f(a)(b-a) $$

Regla del Trapecio

La regla del trapecio aproxima la integral usando el área del trapecio formado por la función y el eje x:

$$ \int_{a}^{b} f(x) dx \approx \frac{b-a}{2} (f(a) + f(b)) $$

El error de aproximación está acotado por:

$$ \varepsilon \le \frac{(b-a)^3}{12} M $$

donde M = máx{|f''(x)|} en [a, b].

Regla del Trapecio Compuesta

La regla del trapecio compuesta divide el intervalo [a, b] en n subintervalos de ancho h = (b - a)/n y aplica la regla del trapecio a cada subintervalo:

$$ \int_{a}^{b} f(x) dx \approx \frac{h}{2} (f(a) + 2 \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) + f(b)) $$

El error de aproximación está acotado por:

$$ \varepsilon \le \frac{(b-a)h^2}{12} M $$

donde M = máx{|f''(x)|} en [a, b].

Regla de Simpson

La regla de Simpson aproxima la integral usando una parábola que pasa por los puntos (a, f(a)), ((a + b)/2, f((a + b)/2)) y (b, f(b)):

$$ \int_{a}^{b} f(x) dx \approx \frac{b-a}{6} \left( f(a) + 4f\left(\frac{a+b}{2}\right) + f(b) \right) $$

El error de aproximación está acotado por:

$$ \varepsilon \le \frac{(b-a)^5}{2880} M $$

donde M = máx{|f⁽⁴⁾(x)|} en [a, b].

Regla de Simpson Compuesta

La regla de Simpson compuesta divide el intervalo [a, b] en un número par n = 2m de subintervalos de ancho h = (b - a)/n y aplica la regla de Simpson a cada par de subintervalos:

$$ \int_{a}^{b} f(x) dx \approx \frac{h}{3} (f(a) + 2 \sum_{i=1}^{m-1} f(x_{2i}) + 4 \sum_{i=1}^{m} f(x_{2i-1}) + f(b)) $$

El error de aproximación está acotado por:

$$ \varepsilon \le \frac{(b-a)h^4}{180} M $$

donde M = máx{|f⁽⁴⁾(x)|} en [a, b].

Regla de los Tres Octavos

La regla de los tres octavos es una variante de la regla de Simpson que utiliza tres puntos igualmente espaciados en el intervalo [a, b]:

$$ x_0 = a, \quad x_1 = a + h, \quad x_2 = a + 2h, \quad x_3 = b $$

donde h = (b - a)/3. La fórmula de integración es:

$$ \int_{a}^{b} f(x) dx \approx \frac{3h}{8} (f(x_0) + 3f(x_1) + 3f(x_2) + f(x_3)) $$

El error de aproximación está acotado por:

$$ \varepsilon \le \frac{(b-a)^5}{6480} M $$

donde M = máx{|f⁽⁴⁾(x)|} en [a, b].