Análisis de Funciones, Contaminación Atmosférica y Optimización de Beneficios

Análisis de Continuidad y Derivabilidad de una Función Definida a Tramos

Sea la función f(x) = x² + x si x<0 ; x/x+1 si x ≥ 0

a) La función x² + x es continua y derivable para x < 0; la función x/x+1 es, también, continua y derivable para x ≥ 0. Vamos a estudiar si la función f(x) es continua y derivable en x = 0.

Lím de x tiende a 0 por la izquierda de (x² +x) = 0. Lím de x tiende a 0 por la derecha de x/x+1 = 0; f(0) = lím de x tiende a 0 de f(x) = 0. Continua en x=0.

Calculamos la función derivada: f’(x) = 2x+1 si x<0 ; 1/(x+1)² si x>0.

f’(0izquierda) = 1. f’(0derecha) =1 ; f’(0izquierda) = f’(0derecha) ; Es derivable en x=0.

Luego la función f(x) es continua y derivable en R.

b) Vamos a ver si tiene asíntota horizontal. lím de x tiende a mas ∞ de x/x+1= ∞/∞ = lím de x tiende a mas ∞ de (x/x) / (x/x + 1/x) = lím de x tiende a mas ∞ de 1/ (1+ 1/x)= 1 ; y=1 es asíntota horizontal.

c) No tiene asíntota vertical.

Estudio de la Presencia de Gases Contaminantes en la Atmósfera

a) La gráfica de la función C(t) = -0.2t² + 4t + 25 (a = -0.2, b = 4, c = 25) es una parábola con las ramas hacia abajo, porque a = -0.2 < 0, por lo tanto la abscisa del máximo anula la primera derivada.

C(t) = -0.2t² + 4t + 25.

C’(t) = -0.4t + 4.

De C’(t) = 0, tenemos -0.4t + 4 = 0, de donde t = 10. Como empezamos en el año 2000, el año de mayor contaminación es el 2000 + 10 = 2010.

b) C(t) = -0.2t² + 4t + 25 = 0 ; 0.2t² - 4t – 25 = 0 ; de donde t = 25 y t = -5. Solo nos sirve t = 25, por tanto como empezamos en el año 2000, el año de contaminación cero es el 2000 + 25 = 2025.

c) Para t = 8 ; C (8) = 44.2 . Calculamos la derivada para hallar la pendiente.

C’(t) = -0.4t + 4 ; m = C’(8) = 0.8. Luego, la recta tangente es: y -44.2 = 0.8(x-8) ; y = 0.8x + 37.8.

Optimización de Beneficios en Almacenamiento de Frutas

Un almacenista de frutas ha estimado que el beneficio que le produce cada kilogramo.

a) La función beneficio es B(x) = -x² + 4x – 3 ; La gráfica de B(x)= -x² +4x–3 es la de una parábola con las ramas hacia abajo porque a = -1 < 0. Los beneficios no pueden ser negativos, por lo tanto lo que tenemos que hacer es resolver la ecuación B(x) = 0, y en el intervalo que determinen sus soluciones estarán los beneficios pedidos. Los beneficios están en el intervalo cerrado [1,3], es decir 1 ≤ x ≤ 3.

b) Sabemos que la abscisa del vértice, el máximo en este caso es x = -b/2a = -(-4)/2 = 2; luego el precio que maximiza los beneficios es x = 2 euros.

c) Como el precio que maximiza los beneficios es “2” euros y tenemos 10000 kg, el beneficio total máximo que se puede obtener es 2 * 10000 = 20000 euros.