Aplicación de Elementos Finitos en Placas y Membranas: Fuerzas Generalizadas y Modelos Desacoplados

Fuerzas Generalizadas y Ensamblaje en Elementos Finitos

• Las fuerzas generalizadas p.u.l. en el contorno del elemento (formado solo por el borde), ௘, son el resultado de integrar en el espesor las fuerzas de superficie sobre la superficie lateral del prisma, ௟௔௧ (contorno ௙,௟௧௘ del subdominio ௘, que pertenece al contorno ௙ del dominio), a las que se añaden las fuerzas de contacto con otros elementos, ௖ (contorno ௖ ௘ del subdominio ௘, que no pertenece al contorno del dominio); en el cuerpo aislado también se podrían añadir las reacciones en los tramos de borde apoyados, ௦ (contorno ௗ ௘ del subdominio ௘, que pertenece al contorno ௗ del dominio), según lo visto en el Tema 3/1.3.
• Las fuerzas ௟௔௧ darán lugar al vector nodal ௩,௧_௟௧ ௘, y las fuerzas ௖ al vector nodal ௥,௖ ௘; las fuerzas ௦ darían lugar al vector nodal ௥,௦ ௘.
• Recuerde que las fuerzas puntuales aplicadas en los nodos suponemos que se incluyen aparte en el vector global ௡ (aunque también se podrían meter en el vector elemental ௩,௤௘).
• El posterior ensamblaje de las fuerzas reactivas del elemento (en general, ௥ ௘ ௥,௖ ௘ + ௥,௦ ௘) al imponer el equilibrio de los nodos, hará que las reacciones en los apoyos se incorporen al vector de fuerzas nodales aplicadas ௡.
• Como se puede ver, en general, ௘ incluye las fuerzas ௩,௧_௟௧ ௘, ௥,௖ ௘ y ௥,௦ ௘. Al final quedaría, de manera similar a como vimos en Elasticidad 3D: ௥ ௘ ௥,௖ ௘ ௥,௦ ௘ y ௩ ௘ ௩,௤ ௘ ௩,௧_௟௧ ௘.
• En lo que sigue, utilizaremos, sin diferenciar el tipo de contorno, las fuerzas ௘ en todo el borde (௙,௟௧௘ ௖ ௘ ௙ା௖ ௘). Se podría incluir también el contorno ௗ ௘ (௙,௟௧ ௘ ௖ ௘ ௗ ௘ ௙ା௖ାௗ ௘) si se desea que las reacciones en apoyos aparezcan en la formulación a nivel del elemento.

Teorema del Trabajo Virtual (TTV) en Placas de Love-Kirchhoff

Se presenta la expresión del Teorema del Trabajo Virtual (TTV) en una placa basada en la Teoría de Love-Kirchhoff, identificando los dos problemas desacoplados que aparecen: el problema de membrana o de laja y el problema de flexión o de placa.

Formulación Matricial del TTV para el Estado de Membrana

La formulación matricial del TTV para el estado de membrana incluye la expresión de la matriz de operadores diferenciales y de la matriz constitutiva.

Estado de Membrana: Analogía con Tensión Plana en Elasticidad 2D

• Se verifica que el estado de membrana es formalmente idéntico al estado de tensión plana en Elasticidad 2D, por lo que se puede resolver usando los mismos elementos finitos. No obstante, se añade en cada nodo el giro de eje perpendicular al plano medio del elemento a fin de permitir la compatibilidad interelemental de los giros de eje perpendicular al borde de contacto.

• Estado de Membrana: Analogía con el Estado de Tensión Plana

• La expresión matricial del TTV es formalmente idéntica en ambos casos.
• Los vectores de desplazamientos ௌ y , y los vectores de deformaciones ௌ y también son formalmente idénticos. Las matrices ௌ y coinciden.
• En el estado de membrana, el vector de esfuerzos ௌ௑ ௒ ௑௒ sustituye al de tensiones ௑௒௑௒ de la tensión plana. Nótese que el primero es el resultado de integrar sobre el espesor el segundo.
• Las matrices ௌ y son formalmente iguales. De hecho, la del estado de membrana es, simplemente, el resultado de multiplicar por la de tensión plana.