Ejercicios resueltos de optimización y continuidad con cálculo diferencial

Aplicaciones de Cálculo Diferencial: Optimización y Continuidad

A continuación, se presentan ejercicios resueltos de cálculo diferencial enfocados en la optimización de funciones y el estudio de la continuidad, aplicados a diversos escenarios reales.

Problema 1: Concentración de Polen

En una localidad, la concentración de polen, medida en gramos, se puede ajustar a la función:

$$f(t) = \frac{t^3}{3} - 22t^2 + 448t - 2600$$

Siendo $t$ el tiempo en semanas, con un dominio de $12 < t < 32$.

1. ¿Qué semana del año se registra la máxima concentración? ¿Cuál fue dicha cantidad?
2. ¿Qué semana del año se registró el mínimo de concentración? ¿Cuál fue dicha cantidad?

Resolución de Máximos y Mínimos

Para encontrar los extremos, calculamos la primera derivada e igualamos a cero:

$$f'(t) = t^2 - 44t + 448$$

Igualando a cero: $t^2 - 44t + 448 = 0$. Las soluciones son $t=16$ y $t=28$.

Evaluamos la derivada en puntos cercanos para determinar la naturaleza de los extremos:

• $f'(14) = 14^2 - 44(14) + 448 = 196 - 616 + 448 = 28$ (Creciente)
• $f'(20) = 20^2 - 44(20) + 448 = 400 - 880 + 448 = -32$ (Decreciente)
• $f'(30) = 30^2 - 44(30) + 448 = 900 - 1320 + 448 = 28$ (Creciente)

Esto confirma que en $t=16$ hay un máximo local y en $t=28$ hay un mínimo local.

1. Máxima Concentración:

   Se registra en la semana $t=16$.

   Cantidad máxima: $f(16) \approx 301,3$ gramos.

2. Mínima Concentración:

   Se registra en la semana $t=28$.

   Cantidad mínima: $f(28) \approx 13,3$ gramos.

Problema 2: Altura de un Globo de Helio

A las 0 horas de un día se lanza un globo de helio cuya altura se ajusta a la función:

$$f(x) = 64x^2 - \frac{1}{2}x^4$$

Donde $f(x)$ está en metros y $x$ en horas.

1. Determina cuándo el globo vuelve a la Tierra.
2. Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
3. Calcula la hora en la que su altura es máxima y cuál es esta altura.

Resolución

1. Tiempo de Retorno a la Tierra:

   El globo vuelve a la Tierra cuando $f(x)=0$:

   $$64x^2 - \frac{1}{2}x^4 = 0 \implies x^2 \left(64 - \frac{1}{2}x^2\right) = 0$$

   Tenemos dos soluciones:

   • $x^2 = 0 \implies x = 0$ (Momento del lanzamiento)
   • $64 - \frac{1}{2}x^2 = 0 \implies 64 = \frac{1}{2}x^2 \implies x^2 = 128 \implies x = \sqrt{128} \approx 11,31$ horas.

   El globo está en el suelo a las 11,31 horas.

2. Intervalos de Crecimiento y Decrecimiento:

   Calculamos la derivada:

   $$f'(x) = 128x - 2x^3$$

   Igualamos a cero: $128x - 2x^3 = 0 \implies x(128 - 2x^2) = 0$. Las soluciones son $x=0$ y $x=8$ (descartamos $x=-8$ por el dominio).

   • Crece: Desde $(0, 8)$
   • Decrece: Desde $(8, 11,31)$
3. Altura Máxima:

   La altura máxima se alcanza en el punto crítico $x=8$ horas.

   Altura máxima: $f(8) = 64(8^2) - \frac{1}{2}(8^4) = 64(64) - \frac{1}{2}(4096) = 4096 - 2048 = 2048$ metros.

Problema 3: Continuidad de una Función a Trozos

Se considera la función a trozos (asumiendo la estructura estándar basada en los límites calculados):

$$f(x) = \begin{cases} x+t & \text{si } x \le -3 \\ 4 & \text{si } x > -3 \end{cases}$$

Calcula el valor de $t$ para que la función sea continua en $x = -3$.

Resolución

Para que la función sea continua en $x=-3$, los límites laterales deben ser iguales:

Límite por la izquierda ($x \to -3^-$):

$$\lim_{x \to -3^-} f(x) = -3 + t$$

Límite por la derecha ($x \to -3^+$):

$$\lim_{x \to -3^+} f(x) = 4$$

Igualando los límites:

$$-3 + t = 4 \implies t = 7$$

Problema 4: Optimización de Costes de Fabricación

Los costes de fabricación de un modelo de vehículos vienen dados por la función:

$$C(x) = -x^3 + 45x^2 - 243x + 500$$

Donde $x$ es la cantidad de vehículos, en el intervalo $1 \le x \le 27$.

1. Determina la cantidad de vehículos que dan el coste máximo y el mínimo.
2. ¿A qué valor ascienden dichos costes?
3. Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento del coste.

Resolución

Calculamos la derivada e igualamos a cero:

$$C'(x) = -3x^2 + 90x - 243$$

Igualando a cero: $-3x^2 + 90x - 243 = 0$. Las soluciones son $x=3$ y $x=27$. Estos son los puntos críticos y los extremos del intervalo.

Evaluamos la función en los puntos críticos y en los extremos del dominio ($x=1, 3, 27$):

• $C(1) = -1 + 45 - 243 + 500 = 301$
• $C(3) = -(3)^3 + 45(3^2) - 243(3) + 500 = -27 + 405 - 729 + 500 = 149$
• $C(27) = -(27)^3 + 45(27^2) - 243(27) + 500 = -19683 + 32805 - 6561 + 500 = 7061$

1. Cantidad de Vehículos para Extremos:
   • Mínimo Coste: $x=3$ vehículos.
   • Máximo Coste: $x=27$ vehículos.
2. Valor de los Costes:
   • Mínimo: $C(3) = 149$ (unidades monetarias).
   • Máximo: $C(27) = 7061$ (unidades monetarias).
3. Intervalos de Crecimiento y Decrecimiento:
   • Decrece: $[1, 3)$
   • Crece: $(3, 27]$

Problema 5: Beneficios en la Producción de Ordenadores

En una empresa de producción de ordenadores, los beneficios vienen dados por la fórmula:

$$B(x) = \frac{x^3}{3} - 8x^2 + 55x + 20$$

Donde $x$ representa el número de ordenadores vendidos en un día. Se sabe que no se producen más de 12 ordenadores al día ($0 \le x \le 12$).

1. Calcula los euros que ganará si vende 6 ordenadores.
2. Determina la cantidad de ordenadores que deben ser vendidos para que el beneficio sea máximo.
3. Calcula el beneficio máximo en euros.

Resolución

Calculamos la derivada para encontrar los puntos críticos:

$$B'(x) = x^2 - 16x + 55$$

Igualando a cero: $x^2 - 16x + 55 = 0$. Las soluciones son $x=5$ y $x=11$. Ambos están dentro del dominio $[0, 12]$.

Evaluamos la derivada en puntos de prueba:

• $B'(2) = 4 - 32 + 55 = 27$ (Creciente)
• $B'(10) = 100 - 160 + 55 = -5$ (Decreciente)

Esto indica que en $x=5$ hay un máximo local y en $x=11$ hay un mínimo local.

1. Beneficio por 6 Ordenadores:

   $$B(6) = \frac{6^3}{3} - 8(6^2) + 55(6) + 20 = 72 - 288 + 330 + 20 = 134$$

   Ganará 134 euros.

2. Beneficio Máximo:

   Evaluamos en los puntos críticos y en los extremos del dominio ($x=0, 5, 11, 12$):

   • $B(0) = 20$
   • $B(5) = \frac{125}{3} - 8(25) + 55(5) + 20 \approx 41,67 - 200 + 275 + 20 = 136,67$
   • $B(11) = \frac{1331}{3} - 8(121) + 55(11) + 20 \approx 443,67 - 968 + 605 + 20 = 100,67$
   • $B(12) = \frac{1728}{3} - 8(144) + 55(12) + 20 = 576 - 1152 + 660 + 20 = 104$

   La cantidad de ordenadores para el beneficio máximo es $x=5$.

3. Beneficio Máximo en Euros:

   El beneficio máximo es de 136,67 euros.

Problema 6: Número de Clientes en un Restaurante

Un restaurante abre a las 8 de la tarde. El número de clientes viene dado por la función:

$$f(t) = 60t - 10t^2$$

Donde $t$ es el tiempo transcurrido en horas desde la apertura (8 PM).

1. Determina la hora de cierre del restaurante.
2. Calcula el número máximo de clientes que hay en una determinada hora.
3. ¿A qué hora debemos ir si queremos que haya exactamente 50 personas?

Resolución

1. Hora de Cierre:

   El restaurante cierra cuando el número de clientes es cero ($f(t)=0$):

   $$60t - 10t^2 = 0 \implies 10t(6 - t) = 0$$

   Las soluciones son $t=0$ (apertura) y $t=6$.

   El restaurante cierra 6 horas después de las 8 PM, es decir, a las 2:00 AM.

2. Número Máximo de Clientes:

   Calculamos la derivada e igualamos a cero:

   $$f'(t) = 60 - 20t$$

   $$60 - 20t = 0 \implies t = 3$$

   El máximo se alcanza 3 horas después de la apertura (a las 11 PM).

   Número máximo de clientes: $f(3) = 60(3) - 10(3^2) = 180 - 90 = 90$ clientes.

3. Hora con 50 Personas:

   Igualamos la función a 50:

   $$60t - 10t^2 = 50 \implies -10t^2 + 60t - 50 = 0$$

   Dividiendo por $-10$: $t^2 - 6t + 5 = 0$. Las soluciones son $t=1$ y $t=5$.

   Habrá 50 personas a la 1 hora (9:00 PM) y a las 5 horas (1:00 AM).