Aplicaciones Prácticas de la Distribución Normal en Ingeniería y Calidad

Problema 1: Cálculo de Área bajo la Curva Normal Estándar

Hallar el área bajo la curva normal tipificada entre Z = 0 y Z = 1.2.

Resolución:

Para encontrar la probabilidad P(0 < Z < 1.2), restamos la probabilidad acumulada hasta Z=0 de la probabilidad acumulada hasta Z=1.2.

P(0 < Z < 1.2) = P(Z < 1.2) - P(Z < 0)

Consultando una tabla de distribución normal estándar (o utilizando software estadístico):

• P(Z < 1.2) = 0.88493
• P(Z < 0) = 0.5 (ya que Z=0 es la media en una distribución normal estándar)

Por lo tanto:

P(0 < Z < 1.2) = 0.88493 - 0.5

P(0 < Z < 1.2) = 0.38493

Problema 1.2: Probabilidad a la Derecha de un Valor Z Negativo

Hallar la probabilidad a la derecha de Z = -1.28.

Resolución:

La probabilidad P(Z > -1.28) se calcula como 1 menos la probabilidad acumulada hasta Z = -1.28.

P(Z > -1.28) = 1 - P(Z < -1.28)

Consultando una tabla de distribución normal estándar:

• P(Z < -1.28) = 0.10027

Por lo tanto:

P(Z > -1.28) = 1 - 0.10027

P(Z > -1.28) = 0.89973

Problema 2: Distribución de Pesos en Estudiantes

El peso medio de 500 estudiantes varones de una universidad es de 68.5 Kg y la desviación típica es de 10 Kg. Suponiendo que los pesos están distribuidos normalmente, hallar el número de estudiantes que pesan:

Parámetros de la distribución:

• Media (μ) = 68.5 Kg
• Desviación Típica (σ) = 10 Kg
• Varianza (σ²) = 100 Kg²
• Número total de estudiantes = 500

Cálculo 2.1: Estudiantes con Peso entre 48 y 71 kg

Para calcular la probabilidad P(48 < X < 71), primero estandarizamos los valores de X a Z-scores:

• Para X = 71 kg:

Z = (X - μ) / σ = (71 - 68.5) / 10 = 2.5 / 10 = 0.25

P(X < 71) = P(Z < 0.25)

Para X = 48 kg:

Z = (X - μ) / σ = (48 - 68.5) / 10 = -20.5 / 10 = -2.05

P(X < 48) = P(Z < -2.05)

Según los valores proporcionados en el cálculo original:

• P(Z < 0.25) = 0.59483
• P(Z < -2.05) = 0.02068

Ahora, calculamos la probabilidad P(48 < X < 71):

P(48 < X < 71) = P(Z < 0.25) - P(Z < -2.05)

= 0.59483 - 0.02068

= 0.57415

Para hallar el número de estudiantes, multiplicamos esta probabilidad por el total de estudiantes:

Número de estudiantes = 0.57415 * 500

Número de estudiantes = 287.075 ≈ 287 estudiantes

Cálculo 2.2: Estudiantes con Peso Más de 91 kg

Para calcular la probabilidad P(X > 91), primero estandarizamos el valor de X a un Z-score:

• Para X = 91 kg:

Z = (X - μ) / σ = (91 - 68.5) / 10 = 22.5 / 10 = 2.25

P(X < 91) = P(Z < 2.25)

Según el valor proporcionado en el cálculo original:

• P(Z < 2.25) = 0.98778

Ahora, calculamos la probabilidad P(X > 91):

P(X > 91) = 1 - P(X < 91)

= 1 - 0.98778

= 0.01222

Para hallar el número de estudiantes, multiplicamos esta probabilidad por el total de estudiantes:

Número de estudiantes = 0.01222 * 500

Número de estudiantes = 6.11 ≈ 6 estudiantes

Problema 3: Control de Calidad en la Producción de Lavadoras

La media del diámetro interior de una muestra de 200 lavadoras producidas por una máquina es 1.275 cm y la desviación típica de 0.0125 cm. El propósito para el cual se han diseñado las lavadoras permite una tolerancia máxima en el diámetro de 1.26 cm a 1.29 cm; de otra forma, las lavadoras se consideran defectuosas. Determinar el porcentaje de lavadoras defectuosas producidas por la máquina, suponiendo que los diámetros están distribuidos normalmente.

Parámetros de la distribución:

• Media (μ) = 1.275 cm
• Desviación Típica (σ) = 0.0125 cm
• Rango de tolerancia: [1.26 cm, 1.29 cm]

Resolución:

Las lavadoras son defectuosas si su diámetro es menor que 1.26 cm o mayor que 1.29 cm. Esto se expresa como P(X < 1.26) + P(X > 1.29).

Primero, estandarizamos los valores de X a Z-scores:

• Para X = 1.26 cm:

Z = (X - μ) / σ = (1.26 - 1.275) / 0.0125 = -0.015 / 0.0125 = -1.2

P(X < 1.26) = P(Z < -1.2)

Para X = 1.29 cm:

Z = (X - μ) / σ = (1.29 - 1.275) / 0.0125 = 0.015 / 0.0125 = 1.2

P(X > 1.29) = 1 - P(X < 1.29) = 1 - P(Z < 1.2)

Según los valores proporcionados en el cálculo original:

• P(Z < -1.2) = 0.11507
• P(Z < 1.2) = 0.88493

Ahora, calculamos las probabilidades de defectuosos:

• P(X < 1.26) = 0.11507
• P(X > 1.29) = 1 - P(Z < 1.2) = 1 - 0.88493 = 0.11507

La probabilidad total de que una lavadora sea defectuosa es la suma de estas probabilidades:

P(defectuosa) = P(X < 1.26) + P(X > 1.29)

= 0.11507 + 0.11507

= 0.23014

El porcentaje de lavadoras defectuosas es:

Porcentaje = 0.23014 * 100%

Porcentaje = 23.014% ≈ 23%

Problema 4: Probabilidad de un Valor Superior en Distribución Normal

Si X está distribuida normalmente con media 5 y desviación típica 2, hallar P(X > 8).

Parámetros de la distribución:

• Media (μ) = 5
• Desviación Típica (σ) = 2

Resolución:

Primero, estandarizamos el valor de X a un Z-score:

• Para X = 8:

Z = (X - μ) / σ = (8 - 5) / 2 = 3 / 2 = 1.5

P(X < 8) = P(Z < 1.5)

Según el valor proporcionado en el cálculo original:

• P(Z < 1.5) = 0.93319

Ahora, calculamos la probabilidad P(X > 8):

P(X > 8) = 1 - P(X < 8)

= 1 - 0.93319

P(X > 8) = 0.06681

Problema 5: Tiempos de Finalización de un Programa de Entrenamiento

Se tiene un programa de entrenamiento diseñado para mejorar la calidad de las habilidades de los supervisores de la línea de producción. Debido a que el programa es autoadministrativo, los supervisores requieren un número diferente de horas para terminarlo. Un estudio de los participantes anteriores indica que el tiempo medio que se lleva completar el programa es de 500 h y que esta variable aleatoria normalmente distribuida tiene una desviación estándar de 100 h.

Parámetros de la distribución:

• Media (μ) = 500 h
• Desviación Estándar (σ) = 100 h

Cálculo 5.1: Probabilidad de Requerir Más de 500 h

¿Cuál es la probabilidad de que un participante elegido al azar requiera más de 500 h para completar el programa?

Resolución:

Dado que la media es 500 h y la distribución es normal, la probabilidad de que un valor sea mayor que la media es 0.5.

P(X > 500) = 0.5

Cálculo 5.2: Probabilidad de Completar entre 500 h y 650 h

¿Cuál es la probabilidad de que un candidato elegido al azar se tome entre 500 h y 650 h para completar el programa de entrenamiento?

Resolución:

Para calcular P(500 < X < 650), estandarizamos los valores de X a Z-scores:

• Para X = 650 h:

Z = (X - μ) / σ = (650 - 500) / 100 = 150 / 100 = 1.5

P(X < 650) = P(Z < 1.5)

Para X = 500 h:

Z = (X - μ) / σ = (500 - 500) / 100 = 0 / 100 = 0

P(X < 500) = P(Z < 0)

Según los valores proporcionados en el cálculo original:

• P(Z < 1.5) = 0.93448
• P(Z < 0) = 0.5

Ahora, calculamos la probabilidad P(500 < X < 650):

P(500 < X < 650) = P(Z < 1.5) - P(Z < 0)

= 0.93448 - 0.5

= 0.43448

Cálculo 5.3: Probabilidad de Completar entre 550 h y 650 h

Suponga que el director del programa de entrenamiento desea saber la probabilidad de que un participante escogido al azar requiera entre 550 y 650 h para completar el trabajo requerido en el programa. ¿Cuánto ha de ser ese valor?

Resolución:

Para calcular P(550 < X < 650), estandarizamos los valores de X a Z-scores:

• Para X = 650 h:

Z = (X - μ) / σ = (650 - 500) / 100 = 150 / 100 = 1.5

P(X < 650) = P(Z < 1.5)

Para X = 550 h:

Z = (X - μ) / σ = (550 - 500) / 100 = 50 / 100 = 0.5

P(X < 550) = P(Z < 0.5)

Según los valores proporcionados en el cálculo original:

• P(Z < 1.5) = 0.93448
• P(Z < 0.5) = 0.69497

Ahora, calculamos la probabilidad P(550 < X < 650):

P(550 < X < 650) = P(Z < 1.5) - P(Z < 0.5)

= 0.93448 - 0.69497

= 0.23951

Cálculo 5.4: Probabilidad de Completar en Menos de 580 h

¿Cuál es la probabilidad de que un candidato elegido al azar se tomara menos de 580 h para completar el programa?

Resolución:

Para calcular P(X < 580), estandarizamos el valor de X a un Z-score:

• Para X = 580 h:

Z = (X - μ) / σ = (580 - 500) / 100 = 80 / 100 = 0.8

P(X < 580) = P(Z < 0.8)

Consultando una tabla de distribución normal estándar:

• P(Z < 0.8) = 0.78814

Por lo tanto:

P(X < 580) = 0.78814

Problema 6: Pesos de Productos Empacados

Una fábrica de alimentos empaca productos cuyos pesos están normalmente distribuidos con media de 450 gramos y desviación estándar de 20 gramos. Encuentre la probabilidad de que un paquete escogido al azar pese entre 425 y 486 gramos.

Parámetros de la distribución:

• Media (μ) = 450 gramos
• Desviación Estándar (σ) = 20 gramos

Resolución:

Para calcular P(425 < X < 486), estandarizamos los valores de X a Z-scores:

• Para X = 425 gramos:

Z = (X - μ) / σ = (425 - 450) / 20 = -25 / 20 = -1.25

P(X < 425) = P(Z < -1.25)

Para X = 486 gramos:

Z = (X - μ) / σ = (486 - 450) / 20 = 36 / 20 = 1.8

P(X < 486) = P(Z < 1.8)

Según los valores proporcionados en el cálculo original:

• P(Z < -1.25) = 0.10565
• P(Z < 1.8) = 0.96485

Ahora, calculamos la probabilidad P(425 < X < 486):

P(425 < X < 486) = P(Z < 1.8) - P(Z < -1.25)

= 0.96485 - 0.10565

= 0.8592