Aplicaciones de la Transformada de Fourier y Ortogonalidad

Interés de la Transformada de Fourier

• Electrónica
• Teoría de la señal
• Telecomunicaciones
• Óptica
• Acústica
• Radar
• Tratamiento de imágenes

Producto de convolución discreto

FFT (Fast Fourier Transform) => tiempo ? N log N

- Hay que hacer una FFT por cada una de las dos imágenes sobre las que hay que hacer el producto de convolución. Y una antitransformada al acabar de hacer el producto. En total, se necesitan 3 Transformadas rápidas de Fourier.

• Espacio imagen => tiempo ? NN

Filtrado espacio de frecuencias

Eliminación de frecuencias concretas

• Medida de elementos periódicos

Vectores ortogonales

• Diremos que dos vectores son ortogonales si su producto interno es igual a cero: (u, v) = 0
• El producto interno, en este caso, se define como:
  ?uv = 0

Producto interno

El producto interior o producto escalar de dos vectores en un espacio vectorial es una operación dada por: V x V -> K (donde V es el espacio vectorial y K es el cuerpo sobre el que está definido), que debe cumplir las propiedades:
[ax + by, z] = a [x, z] + b [y, z] .. [x, y] = [y, x] hermitiana .. [x, x] ? 0 definida positiva (donde x, y, z son vectores arbitrarios y a, b son escalares)

Base ortogonal

Cuando un conjunto de vectores (u₁, u₂ .. u_n) satisface que (u_i, u_j) = 0 para cualquier i ? j con i, j = 1 ,..., n
se dice que los elementos de este conjunto son mutuamente ortogonales y forman una base ortogonal en el espacio Rⁿ. Cualquier vector w de este espacio puede expresarse como una combinación lineal de esta base: w = a₁u₁ + a₂u₂ +...+ a_nu_n

Funciones ortogonales

• El concepto de ortogonalidad puede ser extendido a conjuntos de funciones. Diremos que los miembros de un conjunto de funciones S = (f₁(t), f₂(t) ... f_n(t)...)
  forman un conjunto ortogonal sobre el intervalo a < t < b si ? f_n(t) f_m(t) dt = 0 si n ? m

Base particular de funciones ortogonales

En el marco de las transformadas de Fourier nos interesa un conjunto particular de funciones mutuamente ortogonales. S (... e^-i3w₀t, e^-i2w₀t ...) que cumplen ?_{t / T0} e^inw₀t ... dt = 0 si n ? m 1 si n = m

Series de Fourier para funciones periódicas

Sea f(t) una función periódica de periodo T₀. Entonces podremos expresarla como una suma infinita de exponenciales complejas de la forma: (porque se ha visto que este conjunto de funciones son una base) ¿Los términos F(n) son los coeficientes de Fourier?