Autovalores, Autovectores y Diagonalización de Matrices: Conceptos Esenciales

Definiciones Fundamentales en Álgebra Lineal

Autovalor y Autovector

Autovalor: Un escalar λ ∈ ℝ se dice un autovalor de una matriz A si y solo si existe al menos un vector no nulo x ∈ ℝⁿ tal que Ax = λx. Al vector x ∈ ℝⁿ no nulo se le llamará autovector de A asociado a λ.

Teorema 1: Criterio para Autovalores

Un λ ∈ ℝ es un autovalor de una matriz A_n×n si y solo si det(A - λI_n) = 0.

Demostración:

λ ∈ ℝ es un autovalor de A si y solo si existe x = (x₁, x₂, ..., x_n) ∈ ℝⁿ, con x ≠ 0, tal que Ax = λx (1).

La ecuación matricial (1) puede escribirse como: Ax - λx = 0, lo que es equivalente a Ax - λI_nx = 0, y finalmente a (A - λI_n)x = 0 (2).

(2) es la ecuación matricial de un sistema lineal homogéneo de n ecuaciones en las n incógnitas x₁, x₂, ..., x_n dadas por las componentes del vector x (en la base canónica de ℝⁿ).

Entonces, λ ∈ ℝ es un autovalor de A si y solo si existe x = (x₁, x₂, ..., x_n) ∈ ℝⁿ, con x ≠ 0, que es solución del sistema (2), es decir, si y solo si este sistema tiene soluciones distintas de la trivial.

Por lo tanto, λ ∈ ℝ es un autovalor de A si y solo si el determinante de la matriz de los coeficientes del sistema (2) es nulo, es decir, det(A - λI_n) = 0.

Los autovalores de una matriz A son las raíces reales de la ecuación característica de A.

Subespacio Propio (Eigenspace)

Para cada autovalor λ de una matriz A, el conjunto formado por todos los autovectores de A asociados a λ se denota como S_λ = {x ∈ ℝⁿ | x ≠ 0 y Ax = λx}.

Si λ es un autovalor de una matriz A, llamaremos subespacio propio asociado a λ al subespacio E_λ = S_λ ∪ {0}. Este subespacio también se conoce como eigenspace.

Matriz Semejante

Dadas dos matrices A_n×n y B_n×n, diremos que A es semejante a B si y solo si existe una matriz inversible P_n×n tal que B = P^-1AP.

Matriz Diagonalizable

Se dice que una matriz A es diagonalizable si y solo si existe una matriz inversible P tal que P^-1AP = D (con D diagonal).

Teoremas Clave sobre Diagonalización y Propiedades de Matrices

Teorema 2: Criterios de Diagonalización

Dada cualquier matriz A_n×n, estas propiedades son equivalentes:

• A es diagonalizable.
• A admite n autovectores linealmente independientes.

Teorema 3: Independencia Lineal de Autovectores

Si v₁, v₂, ..., v_p son autovectores de una matriz A, correspondientes a p autovalores distintos λ₁, λ₂, ..., λ_p, entonces los autovectores son linealmente independientes.

Sabemos que los autovalores de una matriz A son las raíces reales de la ecuación característica, que es de grado n y tiene a lo sumo n raíces. Puede ser que A tenga n autovalores distintos o que A tenga algunos o todos los autovalores coincidentes.

Orden de Multiplicidad Algebraica

Si una matriz A tiene un autovalor λ que aparece k veces como raíz de su ecuación característica, diremos que k es el orden de multiplicidad algebraica de λ y escribiremos o.m.a.(λ) = k.

Teorema 5: Propiedades de Matrices Simétricas

Para cualquier matriz simétrica A, se verifica:

• La ecuación característica de A solo tiene raíces reales.
• Si λ es un autovalor de A, entonces dim(E_λ) = o.m.a.(λ).

Matrices Ortogonales y Diagonalización Ortogonal

Matriz Ortogonal

Una matriz P ∈ M_n(ℝ) se dice ortogonal si y solo si PP^T = P^TP = I_n.

Lema 2: Criterios de Ortogonalidad

Sea P ∈ M_n(ℝ). Las siguientes condiciones son equivalentes:

• P es ortogonal.
• Los vectores fila de P forman un conjunto ortonormal en ℝⁿ, con el producto interno usual.

Matrices Ortogonalmente Semejantes

Dos matrices A_n×n y B_n×n son ortogonalmente semejantes (O.S.) si y solo si existe una matriz ortogonal P tal que B = P^TAP.

Matriz Ortogonalmente Diagonalizable

Se dice que una matriz A es ortogonalmente diagonalizable (O.D.) si y solo si existe una matriz ortogonal P tal que P^-1AP = D (con D diagonal).

Teorema 6: Equivalencias de Diagonalización Ortogonal

Dada una matriz A_n×n, las siguientes propiedades son equivalentes:

• A es simétrica.
• A es ortogonalmente diagonalizable.
• A admite un conjunto ortonormal de n autovectores.

Teorema 7: Ortogonalidad de Autovectores de Matrices Simétricas

Para cualquier matriz simétrica A, los autovectores correspondientes a autovalores distintos son ortogonales.

Demostración de Ejercicio: El Subespacio Propio es un Subespacio Vectorial

Sea E_λ = {x ∈ ℝⁿ | Ax = λx}. Demostraremos que E_λ es un subespacio vectorial de ℝⁿ.

Propiedades a Demostrar:

1. E_λ es un subconjunto de ℝⁿ

Esto se sigue directamente de la definición de E_λ, ya que sus elementos son vectores en ℝⁿ.

2. El vector nulo pertenece a E_λ

Debemos demostrar que 0 ∈ E_λ. Sabemos que A·0 = 0 y λ·0 = 0. Por lo tanto, A·0 = λ·0, lo que implica que 0 ∈ E_λ.

3. E_λ es cerrado bajo la suma de vectores

Sean x, y ∈ E_λ. Debemos demostrar que x + y ∈ E_λ, es decir, que A(x + y) = λ(x + y).

• Dado que x ∈ E_λ, se tiene Ax = λx (1).
• Dado que y ∈ E_λ, se tiene Ay = λy (2).
• Entonces, A(x + y) = Ax + Ay (por la propiedad de linealidad de la matriz A).
• Sustituyendo (1) y (2): A(x + y) = λx + λy = λ(x + y).
• Por lo tanto, x + y ∈ E_λ.

4. E_λ es cerrado bajo la multiplicación por un escalar

Sea α ∈ ℝ y x ∈ E_λ. Debemos demostrar que αx ∈ E_λ, es decir, que A(αx) = λ(αx).

• Dado que x ∈ E_λ, se tiene Ax = λx (1).
• Entonces, A(αx) = α(Ax) (por la propiedad de linealidad de la matriz A).
• Sustituyendo (1): A(αx) = α(λx) = λ(αx).
• Por lo tanto, αx ∈ E_λ.

Q.E.D.