Axiomas de Elección en Contextos de Incertidumbre: Teoría de la Utilidad Esperada

Axiomas de Elección en Contextos de Incertidumbre: Teoría de la Utilidad Esperada de Von Neumann-Morgenstern (VNM)

1. Completitud y Transitividad

Las preferencias del consumidor sobre todas las loterías (alternativas, ciertas e inciertas) son completas y transitivas.

• Completas: Para cualquier par de loterías X e Y, se cumple que X es preferible a Y (X > Y), Y es preferible a X (Y > X), o el consumidor es indiferente entre X e Y (X ~ Y).
• Transitivas: Si X es preferible a Y (X > Y) e Y es preferible a Z (Y > Z), entonces X es preferible a Z (X > Z).

2. Continuidad

Si un consumidor prefiere X a Y y Y a Z (X > Y > Z), entonces debe existir una probabilidad p_x (0 < p_x < 1) tal que el consumidor esté indiferente entre Y y una lotería que ofrece X con probabilidad p_x y Z con probabilidad 1 - p_x. Formalmente: Y ~ ((X, Z)(p_x, 1 - p_x)).

3. Independencia

Supongamos que un consumidor es indiferente entre dos loterías X e Y (X ~ Y). Si consideramos dos nuevas loterías que combinan X y Z con probabilidades (p, 1 - p) y Y y Z con las mismas probabilidades (p, 1 - p), entonces el consumidor será indiferente entre estas dos nuevas loterías. Formalmente: Si X ~ Y, entonces ((X, Z)(p, 1 - p)) ~ ((Y, Z)(p, 1 - p)).

4. Probabilidades Desiguales (Monotonía)

Si un consumidor prefiere X a Y (X > Y), y se le presentan dos loterías que ofrecen X e Y con diferentes probabilidades, el consumidor preferirá la lotería que asigne una mayor probabilidad al resultado preferido (X). Este axioma se cumple independientemente de la actitud del consumidor frente al riesgo. Formalmente: ((X, Y)(p, 1 - p)) > ((X, Y)(q, 1 - q)) si y solo si p > q.

5. Loterías Compuestas (Reducción a Loterías Simples)

Si un consumidor tiene que elegir entre una lotería simple (L1) y una lotería compuesta (L2) cuyos resultados son otras loterías, y en última instancia ambas loterías terminan con los mismos resultados y la misma probabilidad para cada resultado, entonces el consumidor será indiferente entre L1 y L2.

Transformaciones Monótonas

"V es una transformación estrictamente monótona de u si siempre que U(L) > U(L'), V(L) > V(L')". Si u representa las preferencias del consumidor, toda transformación estrictamente creciente de u también representa esas preferencias. Por ejemplo: V = f(U), donde f es una función estrictamente creciente de u (f'(U) > 0).

Por eso se dice que la función de utilidad esperada es única excepto por transformaciones afines positivas: v = α + β * u, β > 0.

Teorema de la Función de Utilidad Esperada de Von Neumann-Morgenstern (VNM)

Si las preferencias de un consumidor cumplen los 5 axiomas anteriores, existe una función de utilidad U_i tal que:

1. Representa las preferencias del consumidor: asigna utilidad a todas las preferencias y permite elegir entre ellas.
2. Satisface la propiedad de utilidad esperada: la utilidad de una lotería es el valor esperado de las utilidades de los resultados.

Formalmente: U_i(L) = P_xU_i(x) + P_yU_i(y) + ...

Actitudes ante el Riesgo

Sea u una función de utilidad VNM donde u'(w) > 0 ∀w para un individuo, para loterías sobre niveles no negativos de riqueza. Entonces, para la lotería simple L = ((w₁, ..., w_n)(P₁, ..., P_n)), se dice que el individuo es:

1. Averso al riesgo en L: si u(E(L)) > U(L). Prefiere el valor esperado de una lotería con certeza a participar en ella. Nunca participa en un juego justo.
2. Neutral al riesgo en L: si u(E(L)) = U(L). Está indiferente entre el valor esperado con certeza de una lotería y la lotería (participar o no en un juego justo). Un individuo neutral al riesgo preferirá aquella lotería con mayor valor esperado.
3. Amante del riesgo en L: si u(E(L)) < U(L). Prefiere la lotería a obtener su valor esperado. Siempre participará en el juego.

Otra forma de expresar las actitudes ante el riesgo, en función de la segunda derivada de la función de utilidad:

a) Aversión al riesgo: u''(w) < 0

b) Neutralidad al riesgo: u''(w) = 0

c) Amor al riesgo: u''(w) > 0

Equivalente Cierto

El equivalente cierto de toda lotería simple sobre niveles de riqueza es una cantidad de riqueza EC, ofrecida con certeza, tal que u(EC(L)) = u(L). Es una cantidad de riqueza cierta que le dejaría al individuo indiferente entre aceptar la lotería o ese nivel de riqueza.

• EC(L) < E(L) si el individuo es averso al riesgo y E(L) > 0.
• EC(L) = E(L) si el individuo es neutral al riesgo.
• EC(L) > E(L) si el individuo es amante al riesgo.