Bases de Espacios Vectoriales: Extracción, Extensión y Propiedades

Teorema de Extracción de una Base

Enunciado

Sea E un espacio vectorial sobre un cuerpo K, no nulo y finitamente generado. Si A es un sistema generador finito de E, entonces existe un subconjunto B ⊂ A tal que B es una base de E.

Demostración

Partimos de que A es un sistema generador de E. Se presentan dos casos:

1. Si A es Linealmente Independiente (LI): En este caso, A cumple las dos condiciones para ser una base (es sistema generador y es LI). Por lo tanto, podemos tomar B = A.
2. Si A es Linealmente Dependiente (LD): Según el lema de la dependencia lineal, si un conjunto es LD, al menos uno de sus vectores es combinación lineal de los demás. Por tanto, existe un vector x ∈ A tal que x ∈ L(A \ {x}).
   Definimos un nuevo conjunto C = A \ {x}. Vamos a comprobar que C también es un sistema generador de E.
   Sabemos que E = L(A) y que A = C ∪ {x}. Al calcular la envoltura lineal, se obtiene:
   E = L(A) = L(C ∪ {x}) = L(C) + L({x}).
   Como x ∈ L(C), se deduce que L({x}) ⊂ L(C). Sustituyendo, obtenemos:
   E ⊂ L(C) + L(C) = L(C).
   Dado que C ⊂ E, también se cumple que L(C) ⊂ E. Por lo tanto, concluimos que L(C) = E, y C es un sistema generador de E.

Ahora, repetimos el proceso con el conjunto C:

• Si C es LI, entonces C es base de E, y tomamos B = C.
• Si C es LD, repetimos el proceso anterior para extraer otro vector.

Este proceso debe terminar tras un número finito de pasos, ya que el conjunto inicial A es finito y en cada paso eliminamos un vector. Como E es no nulo, el proceso no puede eliminar todos los vectores. En el peor de los casos, nos quedaremos con un solo vector no nulo, que formaría un conjunto LI y, por tanto, sería una base de su envoltura lineal.

Teorema de la Base Incompleta (Ampliación)

Enunciado

Sea E un espacio vectorial sobre K, no nulo y finitamente generado. Si A es un subconjunto de vectores Linealmente Independiente (LI), entonces existe una base B de E tal que A ⊂ B.

Demostración

Partimos de que A es un conjunto LI. Se presentan dos casos:

1. Si A es un sistema generador de E: En este caso, A ya es una base, y podemos tomar B = A.
2. Si A no es un sistema generador de E: Esto significa que L(A) ≠ E. Por lo tanto, existe al menos un vector y₁ ∈ E tal que y₁ ∉ L(A).
   Definimos un nuevo conjunto C = A ∪ {y₁}. Este conjunto C sigue siendo Linealmente Independiente.

Ahora, repetimos el proceso con el conjunto C:

• Si C es un sistema generador de E, entonces C es una base, y tomamos B = C.
• Si C no es un sistema generador de E, repetimos el proceso anterior añadiendo otro vector de E que no esté en la envoltura lineal de C.

El proceso termina en un número finito de pasos. Como E es finitamente generado, tiene una base con un número finito de vectores, digamos n (su dimensión). Cualquier conjunto con más de n vectores es LD. Por lo tanto, no podemos añadir vectores indefinidamente. Al llegar a tener un conjunto LI con n vectores, este será automáticamente un sistema generador y, por tanto, una base de E.

Propiedades de las Aplicaciones Lineales

El Núcleo como Subespacio Vectorial

Dada una aplicación lineal T: E → F, su núcleo, N(T) o Ker(T), es un subespacio vectorial de E. Para demostrarlo, debemos verificar dos condiciones:

1. El núcleo no es un conjunto vacío:
   Por ser T una aplicación lineal, sabemos que T(0_E) = 0_F. Esto implica que el vector nulo 0_E ∈ N(T), y por lo tanto, N(T) ≠ ∅.
2. El núcleo es cerrado bajo combinaciones lineales:
   Sean x, y ∈ N(T) y sean α, β ∈ K. Debemos comprobar que la combinación lineal (αx + βy) también pertenece a N(T).
   Como x, y ∈ N(T), por definición se tiene que T(x) = 0_F y T(y) = 0_F.
   Ahora, aplicamos T a la combinación lineal:
   T(αx + βy) = αT(x) + βT(y) = α · 0_F + β · 0_F = 0_F.
   Esto demuestra que (αx + βy) ∈ N(T).

Al cumplirse ambas condiciones, queda demostrado que N(T) es un subespacio vectorial de E.