Cómo Calcular Distancias y Ángulos entre Puntos, Rectas y Planos

Cálculo de Distancias en Geometría Analítica

Distancia entre un Punto y una Recta

La distancia de un punto, P, a una recta, r, es la menor de las distancias desde el punto P a los infinitos puntos de la recta r.

Esta distancia corresponde a la longitud del segmento perpendicular trazado desde el punto hasta la recta.

Distancia entre Rectas Paralelas

La distancia de una recta, r, a otra recta paralela, s, es la distancia desde un punto cualquiera de r hasta la recta s.

Distancia entre Rectas que se Cruzan

La distancia entre dos rectas que se cruzan se mide sobre la recta perpendicular común a ambas.

Sean y las determinaciones lineales de las rectas r y s (P punto de r, u vector director de r; Q punto de s, v vector director de s).

Los vectores (vector entre un punto de r y uno de s, y los vectores directores de r y s) determinan un paralelepípedo cuya altura es la distancia entre las dos rectas.

El volumen de este paralelepípedo es el valor absoluto del producto mixto: .

Teniendo en cuenta que el volumen es el valor absoluto del producto mixto de los tres vectores y el área de la base es el módulo del producto vectorial de los vectores directores de las rectas (), la altura (h), es decir, la distancia entre las dos rectas (d(r,s)), es igual a:

Distancia de un Punto a un Plano

La distancia de un punto, P, a un plano, π, es la menor de las distancias desde el punto P a los infinitos puntos del plano π.

Esta distancia corresponde a la longitud del segmento perpendicular trazado desde el punto al plano.

Dado el punto P(x₀, y₀, z₀) y el plano π cuya ecuación general es Ax + By + Cz + D = 0:

La fórmula para calcular la distancia es:

Distancia entre Planos Paralelos

Para calcular la distancia entre dos planos paralelos, se halla la distancia de un punto cualquiera de uno de ellos al otro plano, utilizando la fórmula anterior.

Alternativamente, si tenemos las ecuaciones generales de dos planos paralelos:

La distancia entre ellos se puede calcular directamente con la fórmula:

Cálculo de Ángulos en Geometría Analítica

Ángulo entre dos Rectas

El ángulo que forman dos rectas, r y s, es igual al ángulo agudo determinado por los vectores directores de las rectas (u y v).

Se calcula utilizando el producto escalar de sus vectores directores:

Rectas Perpendiculares

Dos rectas son perpendiculares si sus vectores directores son ortogonales, es decir, su producto escalar es cero.

Ángulo entre dos Planos

El ángulo formado por dos planos, π₁ y π₂, es igual al ángulo agudo determinado por los vectores normales (n₁ y n₂) de dichos planos.

Se calcula utilizando el producto escalar de sus vectores normales:

Planos Perpendiculares

Dos planos son perpendiculares si sus vectores normales son ortogonales, es decir, su producto escalar es cero.

Ángulo entre Recta y Plano

El ángulo (α) que forman una recta, r, y un plano, π, se define como el ángulo agudo formado por la recta r y su proyección ortogonal sobre el plano, r'.

Este ángulo es igual al complementario del ángulo agudo (β) que forman el vector director de la recta (v) y el vector normal del plano (n).

Se calcula mediante la fórmula del seno (ya que sen(α) = cos(β)):

Casos Particulares

• Recta perpendicular al plano: Si la recta r y el plano π son perpendiculares, el vector director de la recta (v) y el vector normal del plano (n) tienen la misma dirección (son paralelos) y, por tanto, sus componentes son proporcionales. El ángulo entre recta y plano es de 90º (π/2 radianes).

• Recta paralela al plano: Si la recta es paralela al plano (o está contenida en él), su vector director (v) es perpendicular al vector normal del plano (n). Su producto escalar es cero (v · n = 0) y el ángulo entre recta y plano es 0º.

Cálculo de Áreas y Volúmenes con Vectores

Área del Paralelogramo

Geométricamente, el módulo del producto vectorial de dos vectores (u y v) coincide con el área del paralelogramo que tiene por lados a esos vectores.

Área = |u x v|

Área de un Triángulo

El área de un triángulo definido por dos vectores con origen común (u y v) es la mitad del módulo del producto vectorial de dichos vectores (es decir, la mitad del área del paralelogramo que definen).

Área = ½ |u x v|

Volumen del Paralelepípedo

Geométricamente, el valor absoluto del producto mixto de tres vectores (u, v, w) que concurren en un mismo vértice representa el volumen del paralelepípedo cuyas aristas son dichos vectores.

Volumen = | [u, v, w] | = | u · (v x w) |

Volumen de un Tetraedro

El volumen de un tetraedro definido por tres vectores con origen común (u, v, w) es igual a 1/6 del valor absoluto del producto mixto de dichos vectores (es decir, un sexto del volumen del paralelepípedo que definen).

Volumen = 1/6 | [u, v, w] |