Cálculo del Valor Actual y Final de Rentas Financieras Constantes

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A continuación, se presentan una serie de ejercicios resueltos sobre el cálculo de rentas financieras, una herramienta fundamental en la matemática financiera para valorar flujos de caja constantes a lo largo del tiempo. Se abordan distintos tipos de rentas: constantes, fraccionadas, temporales, perpetuas, inmediatas, diferidas, prepagables y pospagables.

Rentas Constantes Anuales

Problema 1: Valor actual de una renta pospagable

La señora X desea que su hijo reciba una renta de 15.000 € anuales al final de cada uno de los próximos 6 años. Si su banco le ofrece un tipo de interés fijo del 3% anual durante el periodo de la operación financiera, ¿qué cantidad deberá depositar en el banco en este momento?

Fórmula del Valor Actual de una Renta Pospagable

El valor actual (Va) de una renta temporal, constante, inmediata y pospagable se calcula con la siguiente fórmula:

Va = C * [ (1 - (1 + i)-n) / i ]
  • C: Cuantía de la renta (15.000 €)
  • n: Duración en años (6)
  • i: Tipo de interés anual (0,03)

Problema 2: Valor actual y final de una renta pospagable

Calcula el valor final y actual de una renta pospagable, constante e inmediata de 4.000 € anuales durante 5 años, si el tipo de interés es del 4% anual.

Fórmulas Aplicables

1. Valor Final (Vf):

Vf = C * [ ((1 + i)n - 1) / i ]

2. Valor Actual (Va): Se puede calcular a partir del valor final.

Va = Vf * (1 + i)-n
  • C: 4.000 €
  • n: 5 años
  • i: 0,04

Problema 3: Valor actual de una renta perpetua pospagable

Calcula el valor actual de una finca rústica que produce una renta pospagable, perpetua, constante e inmediata de 15.000 € anuales, con un tipo de interés del 3% anual.

Fórmula del Valor Actual de una Renta Perpetua Pospagable

Va∞ = C / i
  • C: 15.000 €
  • i: 0,03

Problema 4: Valor actual de una renta prepagable

Calcula la cantidad que tendremos que depositar en una caja de ahorros que trabaja al 4% de interés efectivo anual (TAE), si queremos recibir al comienzo de cada uno de los próximos 6 años una renta de 20.000 €.

Fórmula del Valor Actual de una Renta Prepagable

V̈a = C * [ (1 - (1 + i)-n) / i ] * (1 + i)
  • C: 20.000 €
  • n: 6 años
  • i: 0,04

Problema 5: Capital final de una renta prepagable

¿Cuál será el capital final de una renta prepagable, constante e inmediata de 8.000 €, sabiendo que dura 4 años y la TAE es del 3%?

Fórmula del Valor Final de una Renta Prepagable

V̈f = C * [ ((1 + i)n - 1) / i ] * (1 + i)
  • C: 8.000 €
  • n: 4 años
  • i: 0,03

Problema 6: Valor actual de una renta perpetua prepagable

Halla el valor actual de una renta prepagable, constante, inmediata y perpetua de 10.000 € anuales, siendo la TAE del 3%.

Fórmula del Valor Actual de una Renta Perpetua Prepagable

V̈a∞ = C * (1 + i) / i
  • C: 10.000 €
  • i: 0,03

Problema 7: Valor actual de rentas diferidas

Determina el valor actual de dos rentas constantes de 50.000 €. Su duración es de 6 años y la TAE del 4%. La primera renta es pospagable con un diferimiento (D) de 2 años, y la segunda es prepagable con un diferimiento de 3 años.

Fórmulas para Rentas Diferidas

1. Renta Pospagable Diferida (D=2):

D|Va = C * [ (1 - (1 + i)-n) / i ] * (1 + i)-D

2. Renta Prepagable Diferida (D=3):

D|V̈a = C * [ (1 - (1 + i)-n) / i ] * (1 + i) * (1 + i)-D

Alternativamente, se puede usar la fórmula:

D|V̈a = C * [ (1 - (1 + i)-n) / i ] * (1 + i)-(D-1)
  • C: 50.000 €
  • n: 6 años
  • i: 0,04

Problema 8: Valor de una renta anticipada

El señor X ha realizado imposiciones de 16.000 € en un banco durante 5 años, al principio de cada uno de ellos, con el objetivo de reunir un capital que le permitiera reponer su camión. Calcula la cantidad disponible en estos momentos, sabiendo que hace 3 años realizó la última imposición y que la TAE es del 4%.

Fórmula del Valor de una Renta Anticipada (o Postcapitalizada)

Se calcula el valor final de la renta prepagable al término de los 5 años (V̈f) y luego se capitaliza durante el periodo adicional (H).

Nota: La última imposición fue al inicio del año 5. El final de la operación de renta es el final del año 5. Si la última imposición fue hace 3 años, estamos al inicio del año 8. El periodo de capitalización adicional (H) es de 3 años.

VH = V̈f * (1 + i)H

Donde V̈f se calcula como en el problema 5.

  • C: 16.000 €
  • n: 5 años
  • i: 0,04
  • H: 3 años

Rentas Constantes Fraccionadas

Problema 1: Valor actual y final de una renta prepagable fraccionada

Calcula el valor actual y final de una renta temporal, inmediata, prepagable y constante de 2.000 € trimestrales durante 5 años, sabiendo que la TAE es del 8%.

Planteamiento y Fórmulas

Primero, se debe calcular el tipo de interés trimestral (i4) equivalente a la TAE anual.

im = (1 + TAE)1/m - 1

Luego, se aplican las fórmulas de valor actual y final para una renta fraccionada prepagable:

Valor Actual (V̈a):

V̈a(m) = C * [ (1 - (1 + im)-n*m) / im ] * (1 + im)

Valor Final (V̈f):

V̈f(m) = C * [ ((1 + im)n*m - 1) / im ] * (1 + im)
  • C: 2.000 €
  • n: 5 años
  • m: 4 (trimestres por año)
  • TAE: 0,08

Problema 2: Valor actual de una renta perpetua prepagable fraccionada

¿Cuál será el valor actual de una renta prepagable y constante de 500 € mensuales si su duración es indefinida y el tipo de interés mensual es del 0,5%?

Fórmula Aplicable

Se utiliza la fórmula del valor actual para una renta perpetua, prepagable y fraccionada.

V̈a∞(m) = C * (1 + im) / im
  • C: 500 €
  • im: 0,005 (interés mensual)

Problema 3: Valor actual de una renta diferida pospagable fraccionada

Determina el valor actual de una renta pospagable y constante de 4.000 € semestrales durante 6 años, sabiendo que la TAE es del 7% y tiene un diferimiento de 4 semestres.

Planteamiento y Fórmula

Primero, se calcula el tipo de interés semestral (i2) equivalente a la TAE.

i2 = (1 + 0,07)1/2 - 1

Luego, se aplica la fórmula para una renta fraccionada, pospagable y diferida.

D|Va(m) = C * [ (1 - (1 + im)-n*m) / im ] * (1 + im)-D
  • C: 4.000 €
  • n: 6 años
  • m: 2 (semestres por año)
  • D: 4 semestres
  • TAE: 0,07

Problema 4: Valor actual de una renta perpetua diferida pospagable fraccionada

Obtén el valor actual de una renta pospagable y constante de 300 € trimestrales si su duración es indefinida y el tipo de interés nominal anual (Jm) capitalizable trimestralmente es del 4%, con un diferimiento de 4 trimestres.

Planteamiento y Fórmula

Primero, se calcula el tipo de interés trimestral (i4) a partir del nominal anual.

im = Jm / m

Luego, se aplica la fórmula para una renta perpetua, pospagable y diferida.

D|Va∞(m) = (C / im) * (1 + im)-D
  • C: 300 €
  • J4: 0,04
  • m: 4 (trimestres por año)
  • D: 4 trimestres

Problema 5: Valor de una renta anticipada fraccionada

El señor X ha realizado imposiciones mensuales de 250 € durante un periodo de 4 años, al final de cada mes, con el objetivo de reunir un capital que le permita comprar un vehículo nuevo. Calcula la cantidad acumulada en estos momentos, sabiendo que hace 2 años que realizó la última imposición y que la TAE aplicada por el banco es del 4%.

Planteamiento y Fórmulas

1. Calcular el tipo de interés mensual (i12) equivalente a la TAE:

i12 = (1 + TAE)1/12 - 1

2. Calcular el valor final de la renta pospagable (Vf) al término de los 4 años:

Vf(m) = C * [ ((1 + im)n*m - 1) / im ]

3. Capitalizar el valor final durante el periodo adicional (H) usando la TAE:

VH = Vf(m) * (1 + TAE)H
  • C: 250 €
  • n: 4 años
  • m: 12 (meses por año)
  • H: 2 años
  • TAE: 0,04
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