Cálculo Avanzado: Límites, Derivadas, Extremos e Integrales Múltiples

Límites de Funciones de Varias Variables

Criterio Negativo: Si lim_{(x,y)→(a,b)} f(x,y) a lo largo de la curva x = λy no existe o depende de λ, entonces el límite no existe.

Coordenadas Polares: x = a + rcosθ, y = b + rsenθ. Si el límite en coordenadas polares existe, es finito, no depende de θ y existe una función g(r) tal que |f(a + rcosθ, b + rsenθ) - L| ≤ g(r) y lim_r→0⁺ g(r) = 0, entonces el límite de f(x,y) cuando (x,y) tiende a (a,b) es L.

Derivadas Parciales y Diferenciabilidad

Gradiente

El gradiente de una función f es un vector cuyas componentes son las derivadas parciales de f: ∇f = (∂f/∂x₁, ∂f/∂x₂, ...).

Matriz Jacobiana

La matriz jacobiana de una función f: Rⁿ → R^m es una matriz m x n donde cada fila contiene las derivadas parciales de una componente de f, y cada columna corresponde a la derivada parcial con respecto a una variable independiente. La regla de la cadena para la composición de funciones g y f se expresa con matrices jacobianas: J(g∘f(0,0)) = J(g(f(0,0))) * J(f(0,0)).

Diferenciabilidad

1º Derivada Parcial respecto de x en (a,b):

lim_h→0 [f(a + h, b) - f(a, b)] / h

2º f(x,y) es diferenciable en (a,b) si:

lim_{(h,k)→(0,0)} [f(a + h, b + k) - f(a, b) - (∇f(a, b) ⋅ (h, k))] / √(h² + k²) = 0

Diferencial de orden r:

d^rf(a)(h) = (∑_j (∂f/∂x_j)(a)h_j)^r

Condiciones de Diferenciabilidad

• Condición Necesaria: Si f es diferenciable en a, entonces f es continua en a y existen todas las derivadas direccionales en a.
• Condición Suficiente: Si existen todas las derivadas parciales de f en un entorno de a y todas son continuas en a, excepto posiblemente una, entonces f es diferenciable en a.

Plano Tangente

Si f es diferenciable en (a,b), entonces existe un plano tangente a la superficie z = f(x,y) en el punto (a, b, f(a,b)). La ecuación del plano tangente es:

z - f(a, b) = (∂f/∂x)(a, b)(x - a) + (∂f/∂y)(a, b)(y - b)

La diferencial de la composición de funciones g y f se puede expresar como: d(g∘f(0,0)) = J(g∘f(0,0)) * h'

Extremos de Funciones

Matriz Hessiana

La matriz hessiana H(f)(x) es una matriz cuadrada de las segundas derivadas parciales de f. La primera derivada parcial es constante en cada fila, y la segunda derivada parcial es constante en cada columna.

• Si Δ_k > 0 para todo k, la matriz es definida positiva, y el punto es un mínimo local.
• Si (-1)^kΔ_k > 0 para todo k, la matriz es definida negativa, y el punto es un máximo local.
• Si no se cumple ninguna de las anteriores y det(H) ≠ 0, la matriz es indefinida, y el punto es un punto de silla.

Teorema de la Función Implícita

Si se desea expresar z como función de x, y, y t (z = g(x, y, t)) y se tiene una función implícita F(x, y, z, t) = 0, si (∂f/∂z)(a, b, c, d) ≠ 0, entonces existe una función g según el Teorema de la Función Implícita. Además, ∂g/∂x = -(∂f/∂x) / (∂f/∂z).

Extremos Condicionados (Multiplicadores de Lagrange)

Para encontrar los extremos de una función f(x,y) sujeta a una restricción g(x,y) = 0, se define la función Lagrangiana F(x, y, λ) = f(x, y) + λg(x, y). Se igualan a cero las derivadas parciales de F con respecto a x, y, y λ. Se resuelve el sistema resultante para encontrar los puntos críticos. Se evalúa la matriz hessiana de F y se determinan los signos de los determinantes Δ_k para clasificar los puntos críticos.

Búsqueda de Extremos Absolutos

Para encontrar los extremos absolutos de f(x, y) sujeta a varias restricciones g(x, y) = 0:

1. Buscar puntos donde ∇f = 0.
2. Resolver ∇F = 0 para cada restricción g.
3. Encontrar las intersecciones entre las restricciones g.
4. Comprobar que los puntos cumplan todas las restricciones.
5. Evaluar f en todos los puntos encontrados y determinar el valor máximo y mínimo.

En R³, la intersección de dos restricciones g da aristas. Se aplica Lagrange con ambas restricciones (usando λ y μ) y se consideran los vértices tomando las restricciones de 3 en 3.

Integrales Dobles

Tipo 1 (Proyectable sobre el eje x): Si la región de integración se define como a ≤ x ≤ b, ψ₁(x) ≤ y ≤ ψ₂(x), se calculan los límites de x (a y b). Se despeja y en función de x (límites inferior y superior). Si es necesario, se divide la región en subregiones. La integral doble se calcula como:

∫_a^b ∫_ψ1(x)^ψ₂(x) f(x, y) dy dx

Cambio de Variable

Si se realiza un cambio de variable u = u(x, y), v = v(x, y), la integral doble se multiplica por el valor absoluto del determinante de la matriz jacobiana de la transformación inversa (x = x(u,v), y= y(u,v)): |J| = |∂(x, y) / ∂(u, v)|.

Coordenadas Polares

Si se cambia a coordenadas polares (x = ρcosθ, y = ρsenθ), el determinante jacobiano es |J| = ρ. La integral se expresa como:

∫∫ f(ρcosθ, ρsenθ) ρ dρ dθ

Integrales Triples

Tipo 1 (Proyectable sobre el plano xy): a ≤ x ≤ b, ψ₁(x) ≤ y ≤ ψ₂(x), φ₁(x, y) ≤ z ≤ φ₂(x, y). Se integra primero respecto a z, luego a y, y finalmente a x.

Se definen de manera análoga las integrales triples de Tipo 2 (proyectables sobre yz) y Tipo 3 (proyectables sobre xz).

Coordenadas Cilíndricas

x = ρcosθ, y = ρsenθ, z = z. El determinante jacobiano es |J| = ρ.

Coordenadas Esféricas

x = ρsenφcosθ, y = ρsenφsenθ, z = ρcosφ. El determinante jacobiano es |J| = ρ²senφ.