Cálculo de Continuidad, Derivadas y Rectas Tangentes en Funciones Definidas a Trozos

Ejercicio 1: Análisis de Continuidad y Derivabilidad

Sea la función:

f(x) = x^2 - bx + 1 & \text{si } x < 2 \\ 2x + a & \text{si } x \geq 2

a) Estudio de la continuidad en x = 2

Para que la función sea continua en x = 2, los límites laterales deben ser iguales:

• Límite por la izquierda: lim_x→2^- (x² - bx + 1) = 4 - 2b + 1 = 5 - 2b
• Límite por la derecha: lim_x→2⁺ (2x + a) = 4 + a

Igualando los límites laterales: 5 - 2b = 4 + a => a + 2b = 1

Como la función tiene un mínimo en x = 1, la primera derivada en ese punto debe ser cero:

f'(x) = 2x - b (para x < 2)

f'(1) = 0 => 2(1) - b = 0 => b = 2

Sustituyendo en la ecuación anterior: a + 2(2) = 1 => a = -3

b) Cálculo de la recta tangente en x = -2

La función, con los valores de a y b encontrados, es:

f(x) = x^2 - 6x + 1 & \text{si } x < 2 \\ 2x + 2 & \text{si } x \geq 2

Calculamos la recta tangente en x = -2:

• f(-2) = (-2)² - 6(-2) + 1 = 4 + 12 + 1 = 17
• f'(x) = 2x - 6 (para x < 2)
• f'(-2) = 2(-2) - 6 = -4 - 6 = -10

Ecuación de la recta tangente:

y - f(-2) = f'(-2)(x + 2)

y - 17 = -10(x + 2)

y = -10x - 20 + 17

y = -10x - 3

Ejercicio 2: Continuidad y Derivabilidad con Parámetros

Sea la función:

f(x) = ax^2 + 3x & \text{si } x \leq 2 \\ x^2 - bx - 4 & \text{si } x > 2

a) Determinación de a y b para continuidad y derivabilidad

Continuidad en x = 2:

• f(2) = a(2)² + 3(2) = 4a + 6
• lim_x→2^- f(x) = lim_x→2^- (ax² + 3x) = 4a + 6
• lim_x→2⁺ f(x) = lim_x→2⁺ (x² - bx - 4) = 4 - 2b - 4 = -2b

Para la continuidad, igualamos los valores: 4a + 6 = -2b => 4a + 2b = -6

Derivabilidad en x = 2:

Calculamos la función derivada:

f'(x) = 2ax + 3 & \text{si } x < 2 \\ 2x - b & \text{si } x > 2

• f'(2^-) = 2a(2) + 3 = 4a + 3
• f'(2⁺) = 2(2) - b = 4 - b

Para la derivabilidad, igualamos las derivadas laterales: 4a + 3 = 4 - b => 4a + b = 1

Resolvemos el sistema de ecuaciones:

4a + 2b = -6 4a + b = 1

Restando la segunda ecuación de la primera: b = -7

Sustituyendo en la segunda ecuación: 4a - 7 = 1 => 4a = 8 => a = 2

Por lo tanto, a = 2 y b = -7.

b) Recta tangente a g(x) = (x+2)/(x-1) en x=0

• g(0) = (0 + 2) / (0 - 1) = -2
• g'(x) = [(1)(x - 1) - (1)(x + 2)] / (x - 1)² = -3 / (x - 1)²
• m = g'(0) = -3 / (0 - 1)² = -3

Ecuación de la recta tangente:

y - g(0) = g'(0)(x - 0)

y - (-2) = -3(x - 0)

y + 2 = -3x

y = -3x - 2

Ejercicio 3: Análisis de Beneficios de una Empresa

Se estima que el beneficio de una empresa, en millones de euros, para los próximos 10 años viene dado por la función B(t), donde "t" representa el tiempo en años:

B(t) = at - t^2 & \text{si } 0 < t \leq 6 \\ 2t & \text{si } 6 < t \leq 10

Las funciones "at - t²" y "2t" son polinómicas, por lo tanto, continuas y derivables en todo R, en particular en los intervalos (0, 6) y (6, 10) respectivamente.

a) Estudio de la continuidad en t = 6

• lim_t→6^- (at - t²) = 6a - 36
• lim_t→6⁺ (2t) = 12

Igualando los límites: 6a - 36 = 12 => 6a = 48 => a = 8

b) Gráfica de la función y análisis de crecimiento/decrecimiento

Con a = 8, la función es:

B(t) = 8t - t^2 & \text{si } 0 < t \leq 6 \\ 2t & \text{si } 6 < t \leq 10

Para analizar el crecimiento y decrecimiento, estudiamos la derivada:

B'(t) = 8 - 2t & \text{si } 0 < t < 6 \\ 2 & \text{si } 6 < t < 10

• B'(t) > 0 si 8 - 2t > 0 => t < 4. La función es creciente en (0, 4).
• B'(t) < 0 si 8 - 2t < 0 => t > 4. La función es decreciente en (4, 6).
• B'(t) = 2 > 0 para todo t en (6, 10). La función es creciente en (6, 10).

Por lo tanto, la función es creciente en (0, 4) U (6, 10) y decreciente en (4, 6).

c) Máximo beneficio en los primeros 6 años

El máximo beneficio en los primeros 6 años se alcanza en el punto crítico t = 4 (donde la derivada cambia de positiva a negativa). El valor del beneficio en t = 4 es:

B(4) = 8(4) - 4² = 32 - 16 = 16 millones de euros.