Cálculo de Continuidad y Límites de Funciones: Conceptos Clave

Continuidad de Funciones

Para estudiar la continuidad de una función f(x), sigue estos pasos:

1. Calcular el Dominio: Si la función tiene denominador, calcula los valores de x que lo anulan. El dominio será ℝ menos esos valores. Declara que f(x) no es continua en esos puntos donde el denominador es cero.
2. Estudiar la Continuidad en un Punto Específico (x=a): Si se pide estudiar la continuidad en un punto 'a' (especialmente si hay un cambio de definición de la función en ese punto, indicado a menudo por ≥ o ≤):
   1. Verifica si 'a' pertenece al Dominio de f(x). Calcula f(a) reemplazando 'a' por x en la expresión de la función correspondiente.
   2. Calcula el Límite de f(x) cuando x tiende a 'a' (lim_x→a f(x)). Esto generalmente implica calcular los límites laterales: lim_x→a⁻ f(x) (usando la expresión para x < a) y lim_x→a⁺ f(x) (usando la expresión para x > a). Si los límites laterales son diferentes, el límite no existe.
   3. Compara f(a) con el lim_x→a f(x). Si f(a) y el límite existen y son iguales, la función es continua en x=a. Si no son iguales, o alguno no existe, la función no es continua en x=a.
3. Conclusión General: Finaliza indicando que la función es continua en todo ℝ excepto en los puntos donde se determinó que no lo era (los que anulan el denominador y/o los puntos de estudio donde falló la condición de continuidad).

Continuidad con Parámetros

Si la función contiene un parámetro (una letra, como 'a' o 'k') y se pide que sea continua en un punto específico, sigue los mismos pasos generales, pero en el paso 3 (comparación de f(a) y el límite), iguala los resultados para encontrar el valor del parámetro que garantiza la continuidad. Por ejemplo, si lim_x→a⁻ f(x) = L₁, lim_x→a⁺ f(x) = L₂, y f(a) = V, para que sea continua en x=a, debe cumplirse que L₁ = L₂ = V. Si alguna de estas expresiones contiene el parámetro, resuelve la ecuación resultante para hallarlo.

La conclusión final sobre la continuidad en todo ℝ dependerá del valor que tome el parámetro. Si el parámetro toma el valor calculado, la función será continua en ℝ excepto quizás en los puntos que anulan el denominador. Si el parámetro toma un valor diferente, la función no será continua en el punto de estudio además de los puntos que anulan el denominador.

Cálculo de Límites

Límites en el Infinito (x → ∞)

Para límites cuando x tiende a infinito (o menos infinito), observa los grados del numerador y el denominador:

• Si el grado del denominador es mayor que el del numerador, el resultado es 0.
• Si el grado del numerador y el denominador son iguales, el resultado es el cociente de los coeficientes principales (los números que acompañan a las x de mayor grado).
• Si el grado del numerador es mayor que el del denominador, el resultado es ∞ o -∞. El signo depende de los signos de los coeficientes principales y de si x tiende a +∞ o -∞.

Casos Específicos de Límites Indeterminados

Límite Indeterminado ∞ - ∞

Cuando te encuentras con una indeterminación del tipo ∞ - ∞, especialmente con raíces cuadradas, un método común es multiplicar y dividir por el conjugado:

1. Identifica la expresión con la indeterminación ∞ - ∞ (ej: √f(x) - √g(x)).
2. Multiplica y divide la expresión por el conjugado (√f(x) + √g(x)).
3. Aplica la diferencia de cuadrados en el numerador: (√f(x) - √g(x))(√f(x) + √g(x)) = f(x) - g(x).
4. Simplifica la expresión resultante.
5. Si aparece una indeterminación del tipo ∞/∞, divide todos los términos del numerador y del denominador por la x de mayor grado (dentro de una raíz cuadrada, x entra como x²).
6. Calcula el límite de la nueva expresión simplificada para obtener el resultado.

Límite Indeterminado 1^∞

La indeterminación 1^∞ se resuelve comúnmente utilizando la definición del número 'e'. La forma general es lim_x→a [f(x)]^g(x) donde f(x) → 1 y g(x) → ∞. El resultado es e^L, donde L = lim_x→a [g(x) * (f(x) - 1)].

Pasos:

1. Identifica la indeterminación 1^∞.
2. Aplica la fórmula: el límite es e^L, donde L = lim_x→a [exponente * (base - 1)].
3. Calcula el límite L. Este nuevo límite a menudo resulta en una indeterminación ∞ * 0 o ∞/∞.
4. Si L es una indeterminación ∞/∞ con cocientes de polinomios, divide numerador y denominador por la x de mayor grado para encontrar su valor.
5. El resultado final del límite original será e elevado al valor de L.

Nota sobre 'e' y límites: Si al calcular un límite relacionado con la definición del número 'e' (como (1 + 1/f(x))^f(x)), obtienes una expresión del tipo e^-∞, esto equivale a 1/e^∞, que tiende a 0. Una expresión como 1/0 en un límite lateral puede tender a +∞ o -∞, no a 0.