Cálculo Diferencial: Asíntotas, Continuidad y Teoremas Fundamentales

Asíntotas de Funciones

Las asíntotas son rectas a las cuales la gráfica de una función se acerca indefinidamente sin llegar a cruzarlas en el infinito.

Asíntotas Horizontales (AH)

Si el límite de una función f(x) cuando x tiende a infinito (o a menos infinito) es un valor finito 'a', entonces la recta y = a es una asíntota horizontal.

• Si lim_x→∞ f(x) = a o lim_x→-∞ f(x) = a, entonces y = a es una asíntota horizontal.
• Una función puede tener un máximo de dos asíntotas horizontales (una para x→∞ y otra para x→-∞).

Asíntotas Verticales (AV)

En una función racional, puede haber tantas asíntotas verticales (AV) como raíces tenga el denominador que no sean también raíces del numerador.

• Si una función tiene asíntotas verticales, no es continua en esos puntos.
• Si una función no es continua en un punto, tampoco es derivable en él.

Consideración General sobre Asíntotas

Una función puede tener un máximo de dos asíntotas horizontales (AH) o asíntotas oblicuas (AO) en total. Es decir, si tiene una AH, no puede tener AO en la misma dirección (x→∞ o x→-∞).

Continuidad de Funciones

Una función y = f(x) es continua en el punto x = a cuando se cumplen las siguientes tres condiciones:

1. Existe lim_x→a f(x).
2. Existe f(a).
3. El límite de la función en el punto es igual al valor de la función en el punto: lim_x→a f(x) = f(a).

Tipos de Discontinuidades

Discontinuidad Evitable

Existe el límite de la función en x = a, pero es diferente de f(a), o f(a) no existe. Formalmente:

• Si existe lim_x→a f(x) pero no existe f(a).
• O si f(a) ≠ lim_x→a f(x).

Discontinuidad No Evitable

No existe el límite de la función en x = a.

Discontinuidad de Salto Finito

Existen los límites laterales en x = a y son finitos, pero diferentes entre sí.

Discontinuidad de Salto Infinito

Al menos uno de los límites laterales en x = a es infinito.

Continuidad en un Intervalo

Una función f es continua en un intervalo abierto (a, b) cuando lo es en cada uno de sus puntos.

Una función f es continua en un intervalo cerrado [a, b] cuando lo es en cada uno de sus puntos del correspondiente intervalo abierto (a, b) y, además, es continua por la derecha en x = a y por la izquierda en x = b.

Teoremas Fundamentales de Continuidad

Teorema de Bolzano

Si f es una función real y continua en un intervalo cerrado [a, b] y el signo de f(a) es diferente al signo de f(b) (es decir, f(a) ⋅ f(b) < 0), entonces existe al menos un punto c ∈ (a, b) tal que f(c) = 0.

Teorema de los Valores Intermedios (o de Darboux)

Sea f una función real y continua en un intervalo cerrado [a, b]:

• Si f(a) ≤ f(b) y M es un valor tal que f(a) < M < f(b), entonces existe al menos un punto c ∈ (a, b) tal que f(c) = M.
• Si f(a) ≥ f(b) y M es un valor tal que f(b) < M < f(a), entonces existe al menos un punto c ∈ (a, b) tal que f(c) = M.

Teorema de Weierstrass

Si una función f es continua en el intervalo cerrado [a, b], entonces está acotada en [a, b]; es decir, alcanza un máximo absoluto y un mínimo absoluto en dicho conjunto.

Derivada de una Función

Derivada de una Función en un Punto

La derivada de una función f en un punto x = a, denotada como f'(a), se define como el límite:

f'(a) = lim_h→0 f(a + h) - f(a) / h

Si este límite no existe, se dice que f no es derivable en x = a.

Pendente de la Recta Tangente

El número f'(a) es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de y = f(x) en el punto P(a, f(a)).

Ecuación de la Recta Tangente

La ecuación de la recta tangente a y = f(x) en el punto P(a, f(a)) es:

y - f(a) = f'(a) (x - a)

Nota: La fórmula original contenía un error, utilizando f(a) en lugar de f'(a) para la pendiente. Se ha corregido para reflejar la definición correcta de la recta tangente.