Cálculo de flujo y optimización: procedimientos paso a paso para matrices de admitancia y Lagrangiano

Tipo 1: RADIANES

A continuación se describen los pasos y consideraciones para el cálculo en radianes. Se mantienen todos los contenidos originales, corrigiendo ortografía, gramática y presentando el texto de forma estructurada.

Paso 1: Matriz de admitancia reducida ([Yred])

• Se obtiene la matriz [Yred]:
• Yii = 1/Zi + 1/Zi
• Yij = Yji = -1/Zij (esta matriz se expresa con módulos y argumentos).

Paso 2: Matriz B

• Se construye la matriz [B] tomando solo la parte imaginaria de [Yred].

Paso 3: Datos

Se introducen los datos disponibles en cada nodo (las P y las Q). Si la flecha sale, la potencia asociada se considera negativa; si entra, positiva. Se toma como referencia el nodo que se indique y, si solo dan la V (sin potencias), se usa esa tensión como referencia.

Paso 4: Iteración 0 (valores iniciales)

• Se ponen los valores iniciales de V1, V2, V3. Si no se dispone de un dato, se asigna 1∠0° (1∠0º).
• Los ángulos de las tensiones se denominan δi.

Paso 5: Iteración 1 (cálculo de funciones de potencia)

• Para los nodos que no son referencia se calculan:
• fpi = Σ Ui Uj Yji cos(δj - δi + θij).
• fqi = (lo mismo) pero con el seno: Σ Ui Uj Yji sin(δj - δi + θij).
• Luego: ΔPi = Pi - fpi, ΔQi = Qi - fqi.
• Las θ son los argumentos de la matriz Yred.
• La Pi: si sale es negativa, si entra es positiva. Antes de operar, las potencias se dividen por 1000 si procede.
• Si no se dispone de Q en un nodo, se toma la Q de ese nodo igual a fqi.

Paso 6: Formulación matricial y corrección de ángulos y tensiones

• Se plantea la matriz (ejemplo para nodos 2 y 3):

  [ΔP2 / V2; ΔP3 / V3] = - [B22 B23; B32 B33] · [Δδ2 ; Δδ3]

• Relación de actualización de ángulos:

  Δδⁱ + δⁱ = δⁱ⁺¹

• Se crea otra matriz análoga pero donde pone P se pone Q, y donde aparece δ se pone V.
• Si ΔQ es 0, el ΔV correspondiente también será 0, lo que simplifica la matriz.
• Los ΔVi se tratan de forma análoga a los Δδi.
• Actualización: δi = δi (iteración anterior) + Δδi (donde Δδi se obtiene resolviendo el sistema).

Paso 7: Segunda iteración

• Se repite el procedimiento, pero usando en δi y en las Vi los valores obtenidos en la iteración anterior.
• Se vuelven a calcular las Vi con sus correspondientes δ.

Observación sobre inductancias y capacidades

Si se proporcionan XL y XC:

• Lij = R + (XL - XC)

Tipo 2: Optimización con multiplicador de Lagrange

Paso 1: Formulación

• Se define la función reducida: Lreducida = Ct + λ [Pd + PL - Σ Pi].
• La Ct es C1 + C2 + C3 y las incógnitas son P1, P2 y P3.

Paso 2: Condición de extremo

• Se deriva L respecto de cada Pi y se iguala a cero: derivada = 0.

Paso 3: Ecuaciones de Pi

• Se despejan las Pi de forma que quedan expresadas como funciones de λ (lambda).

Paso 4: Primera iteración

• Se elige un valor inicial de λ, por ejemplo λ = 10, y se sustituye en las ecuaciones para obtener P1, P2 y P3.
• Si un valor obtenido está por debajo del intervalo permitido, se toma el valor más próximo dentro del intervalo; si está por encima, se ajusta al límite superior; si está comprendido, se acepta tal cual.

Paso 5: Cálculo del desbalance

• Se calcula ΔP = Pd + PL (sustituyendo λ) - Σ Pi.

Paso 6: Actualización de λ

• Se calcula el incremento de λ:

  Δλⁱ⁺¹ = ΔPⁱ⁺¹ / (sumatorio de las derivadas de Pi respecto de λ, evaluadas en λ₀).

• En la práctica: sustituir λ inicial (por ejemplo 10) en las derivadas y calcular el denominador.

Paso 7: Nueva λ

• La nueva λ será la suma del incremento y la λ anterior: λⁱ⁺¹ = λⁱ + Δλⁱ⁺¹.

Paso 8: Repetición

• Se repiten las iteraciones con la nueva λ las veces que sean necesarias hasta convergencia.

Paso 9: Coeficiente de penalización

• El coeficiente de penalización se define como:

  Fp = 1 / (1 - (∂PL / ∂Pi))

• Se sustituyen las Pi de la segunda iteración y se calcula un Fp para cada Pi.

Notas finales

• Se han conservado todos los enunciados y fórmulas originales, mejorando la presentación y la claridad.
• Se han resaltado los conceptos clave ([Yred], [B], P, Q, δi, θij, λ, Lreducida, Fp) para facilitar la lectura.