Cálculo Fundamental: Continuidad, Derivadas, Límites e Integrales

Continuidad de Funciones

Una función y = f(x) es continua en x=a si y solo si se cumplen las siguientes tres condiciones:

• El límite de f(x) cuando x tiende a 'a' existe: lim (x→a) f(x).
• El valor numérico de f(a) existe.
• Ambos valores coinciden: lim (x→a) f(x) = f(a).

Tipos de Discontinuidades

Discontinuidad Evitable

Existe el límite de f(x) cuando x→a, pero no coincide con el valor numérico de f(a). Esto puede ocurrir porque f(a) no existe o porque f(a) está desplazado.

Discontinuidad Inevitable

1ª Especie

• De Salto Finito: No existe el límite de f(x) cuando x→a. La diferencia entre el límite por la derecha y el límite por la izquierda (lim (x→a⁺) f(x) - lim (x→a⁻) f(x)) se denomina salto de la función en x=a.
• De Salto Infinito: No existe el límite, o bien el límite vale ±∞ al menos por un lado.
• Asintótica: No existe el límite, pero sí hay un límite lateral que tiende a ±∞ (lo que implica una asíntota vertical).

2ª Especie

La función no existe en uno de los lados del punto, o bien no existe alguno o ambos límites laterales.

Teorema de Bolzano

Si f(x) es una función real continua en un intervalo cerrado [a,b] y toma valores de distinto signo en sus extremos (es decir, f(a) · f(b) < 0), entonces existe al menos un valor c ∈ (a,b) tal que f(c) = 0.

La Derivada

Sea F una función definida en un entorno de un número real a. Se llama derivada de F en un punto a al límite del cociente incremental:

f'(a) = lim (x→a) [f(x) - f(a)] / (x - a)

O, si x = a + h:

f'(a) = lim (h→0) [f(a + h) - f(a)] / h

• Si f'(a) es un número real, la función f es derivable en x=a.
• Si f'(a) es infinito, se dice que f tiene derivada infinita en x=a.
• Si f'(a) no existe, la función f no tiene derivada en x=a.

Interpretación Geométrica de la Derivada en un Punto

La derivada de una función en un punto representa la pendiente de la recta tangente a la función en el punto T(a, f(a)). Es decir, f'(a) = m (donde m es la pendiente de la recta tangente).

Derivadas de Funciones Comunes

A continuación, se presentan las fórmulas de las derivadas para funciones comunes, donde f representa una función de x y f' su derivada:

• ⁿ√f(x): f'(x) / (n · ⁿ√[f(x)]ⁿ⁻¹)
• [f(x)]ⁿ: n[f(x)]ⁿ⁻¹ · f'(x)
• √f(x): f'(x) / (2√f(x))
• ln(f(x)): f'(x) / f(x)
• logₐ(f(x)): f'(x) / (f(x) · ln a)
• e^f(x): f'(x) e^f(x)
• a^f(x): f'(x) a^f(x) ln a
• sen(f(x)): f'(x) cos(f(x))
• tan(f(x)): f'(x) (1 + tan²(f(x))) o f'(x) sec²(f(x))
• cot(f(x)): -f'(x) (1 + cot²(f(x))) o -f'(x) csc²(f(x))
• sec(f(x)): f'(x) sec(f(x)) tan(f(x))
• csc(f(x)): -f'(x) csc(f(x)) cot(f(x))
• xⁿ: nxⁿ⁻¹
• √x: 1 / (2√x)

Demostraciones de Propiedades de Derivadas

Suma de Funciones

(f+g)' = f' + g'

(f+g)'(a) = lim (x→a) [(f+g)(x) – (f+g)(a)] / (x-a)

= lim (x→a) [f(x)+g(x) – f(a)-g(a)] / (x-a)

= lim (x→a) [f(x)-f(a)] / (x-a) + lim (x→a) [g(x)-g(a)] / (x-a)

= f'(a) + g'(a)

Resta de Funciones

(f-g)' = f' - g'

(f-g)' = (f + (-g))' = f' + (-g)' = f' + (-1)g' = f' - g'

Constante por Función

(c · f)' = c · f'

(c · f)'(a) = lim (x→a) [(c · f)(x) – (c · f)(a)] / (x-a)

= lim (x→a) [c · f(x) – c · f(a)] / (x-a)

= lim (x→a) c [f(x) – f(a)] / (x-a)

= c · lim (x→a) [f(x) – f(a)] / (x-a)

= c · f'(a)

Teorema de Rolle

Si la función f es continua en el intervalo cerrado [a,b], si f es derivable en el intervalo abierto (a,b), y si f(a) = f(b), entonces existe al menos un valor c ∈ (a,b) con f'(c) = 0. Es decir, existe al menos un punto c ∈ (a,b) con tangente horizontal.

Límites de Funciones

El límite de una función f es L en x=a si para toda sucesión de valores xₙ → a que tiende a 'a' con xₙ ≠ a, la sucesión de imágenes f(xₙ) se aproxima a L. No importa lo que pasa en el propio punto, solo en su entorno (xₙ ≠ a).

Tipos de Indeterminaciones

Las indeterminaciones más comunes en el cálculo de límites son:

• 0/0: Se resuelven generalmente factorizando, racionalizando o aplicando la regla de L'Hôpital.
• ∞/∞: Se resuelven comparando los grados de los polinomios (para funciones racionales) o dividiendo por la potencia de mayor grado.
  • Si grado(numerador) > grado(denominador), el límite es ±∞.
  • Si grado(numerador) < grado(denominador), el límite es 0.
  • Si grado(numerador) = grado(denominador), el límite es el cociente de los coeficientes principales (a/b).
  Estas reglas se aplican para límites cuando x→±∞.
• ∞ - ∞: Se resuelven con límites cuando x→±∞, a menudo multiplicando por el conjugado o sacando factor común.
• 0 · ∞: Se resuelven con límites cuando x→∞, transformándolas en 0/0 o ∞/∞.
• 1^∞: Se resuelven con límites cuando x→±∞, buscando el número e. Si la indeterminación es de la forma lim (x→±∞) f(x)^g(x) donde f(x)→1 y g(x)→∞, el límite es e^(lim (x→±∞) [f(x)-1]g(x)).

Definición de Función Continua (Reafirmación)

Una función es continua en x=a si y solo si se cumple que lim (x→a) f(x) = f(a). Es decir, si se cumplen las tres condiciones: que exista el límite, que exista el valor numérico de f(a), y que ambos valores coincidan.

Funciones Continuas en Todo R y Restricciones de Dominio

• Polinómicas, Exponenciales, Seno y Coseno: Son continuas en todo R.
• Raíz Par: √p(x) es continua donde p(x) ≥ 0.
• Raíz Impar: ⁿ√p(x) (con n impar) es continua siempre.
• Racionales: p(x)/q(x) son continuas en R - {x | q(x)=0} (todos los reales excepto donde el denominador es cero).
• Logarítmicas: logₐ(p(x)) son continuas donde p(x) > 0 y la base a ≠ 1.

Análisis y Representación de Funciones

Para analizar y representar funciones, se suelen seguir los siguientes pasos:

1. Dominio e Imagen: Determinar el conjunto de valores para los que la función está definida y el conjunto de valores que la función puede tomar.
2. Signo de la Función:
   • f(x) > 0: La función está por encima del eje x.
   • f(x) < 0: La función está por debajo del eje x.
3. Puntos de Corte con los Ejes:
   • Con el eje x (raíces): Se hace y=0 y se resuelve para x.
   • Con el eje y: Se hace x=0 y se resuelve para y.
4. Simetría:
   • Par: Si f(-x) = f(x) (simétrica respecto al eje y).
   • Impar: Si f(-x) = -f(x) (simétrica respecto al origen (0,0)).
5. Asíntotas:
   • Horizontales (AH): y=k, si existe lim (x→±∞) f(x) = k (donde k es un número real).
   • Verticales (AV): x=a, si existe lim (x→a) f(x) = ±∞ (donde a ∈ R). En las funciones racionales, se hallan en los valores de x que anulan al denominador.
   • Oblicuas (AO): y=mx+n, donde:
     • m = lim (x→∞) [f(x) / x] (m ≠ 0, ∞)
     • n = lim (x→∞) [f(x) - mx] (n ≠ ∞)
6. Monotonía:
   • Creciente: Si f'(x) > 0.
   • Decreciente: Si f'(x) < 0.
7. Extremos Relativos: Los puntos donde f'(x)=0 son posibles extremos (máximos o mínimos).
   • Máximo en x=a si f'(a)=0 y f''(a) < 0.
   • Mínimo en x=a si f'(a)=0 y f''(a) > 0.
8. Curvatura:
   • Convexa: Si f''(x) > 0.
   • Cóncava: Si f''(x) < 0.
9. Puntos de Inflexión: Puntos donde la curvatura cambia (f''(x)=0 y cambia de signo).
10. Representación Gráfica: Dibujar la función utilizando toda la información recopilada.

Propiedades de Límites con Infinito (Reafirmación):

• k/0 = ∞ (donde k ≠ 0)
• 0/k = 0 (donde k ≠ 0)
• ∞/k = ∞ (donde k ≠ 0)
• k/∞ = 0 (donde k ≠ 0)

Primitiva de una Función

Sean f y F dos funciones reales definidas en un intervalo I de los números reales. Se dice que la función F, continua y derivable en el intervalo I, es una primitiva de f(x) si F'(x) = f(x).

Integral Indefinida

La integral indefinida de una función f(x) es el conjunto de todas sus primitivas. Se denota como ∫f(x) dx.