Cálculo Integral y Diferencial: Conceptos Clave y Ejercicios Resueltos

Fundamentos del Cálculo: Preguntas y Respuestas Clave

Este documento presenta una serie de preguntas y respuestas fundamentales sobre el cálculo diferencial e integral, abarcando desde definiciones básicas hasta métodos de integración y aplicaciones prácticas.

Cálculo Integral y Diferencial: Conceptos Básicos

1. Es la operación inversa a la derivada: INTEGRAL
2. Es el conjunto de todas las funciones f(x) cuya derivada es f(x): INTEGRAL DEFINIDA
3. La expresión ∫ f(x) dx = F(b) - F(a) corresponde al: TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
4. Es el símbolo que representa la constante de la integración: C
5. Es el producto de la derivada por la diferencial de la variable independiente: LA DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN
6. En la expresión ∫ f(x) dx = F(x) + C, ¿a cuál se le llama integrando?: F(X)
7. La diferencial de la función Y = 2x^1/3 es: (2/3)x^-2/3 dx
8. La diferencial de la función Y = (3x-5)(x²-2x+8) es: [(3X-5)(2X-2)+(X²-2X+8)(3)]DX
9. La diferencial de la función Y = e^5x es: e^5x(5)dx
10. Es el valor de ∫ dx: X+C
11. La integral ∫ 7dx es: 7X+C
12. La integral ∫ (x²+8)(x²) dx es: X⁵/5+8X³/3+C
13. Es el valor de ∫₀² x² dx: 8/3
14. Es el valor de ∫ x³ dx evaluada en el intervalo [0,1]: 1/4
15. La integral ∫ √x dx: 2X^3/2/3+C
16. Es el conjunto de todas las funciones primitivas de f(x): ∫f(x)dx
17. La integral ∫ (5x²+3x-1)dx: 5X³/3+3X²/2-X+C
18. La integral ∫ (x+9)dx: (x+9)/3+C
19. La integral ∫ x^-2dx: X^-1/-1+C
20. El área de ∫₀^π/8 sen(4x) dx: 1/4
21. La diferencial de la función Y = cos(x): -SENXdx
22. La diferencial de la función f(x) = e^x: e^Xdx
23. La diferencial de la función ln(x) es: 1/X dx
24. Este método de integración está basado en la regla de derivación de un producto de funciones: INTEGRACIÓN POR PARTES
25. La integral ∫ (x-1)/x dx: x-Lnx+c
26. La diferencial de la función Y = 2/x es: -2/X²dx
27. Al aplicar la regla de sustitución a la siguiente integral ∫ (x+1)/(7(x+1)²+4) dx, la función U es: 7(X+1)²+4
28. Al aplicar la regla de integración por partes a la siguiente integral ∫ ln(x) dx, la función u es: Lnx
29. La integral ∫ x sen(x) dx es: /XCOSX+SENX+C
30. La integral ∫ x e^x dx es: e^x(x+)+C
31. La integral ∫ 1/(x²+4x-7) dx es: (1/8)Ln((x-2)/(x+6))+C
32. El proceso de determinar la función cuando se conoce su derivada se llama: INTEGRACIÓN
33. Las integrales que podemos obtener como resultado de aplicar de una manera directa las fórmulas reciben el nombre de: INTEGRALES INMEDIATAS

Aplicación del Cálculo: Movimiento de Proyectiles

Se lanza un proyectil desde lo alto de un edificio de 60 pies de altura (s(0)=60 pies) con una velocidad inicial de 96 pies/s (v(0)=96 pies/s). Si la aceleración del proyectil en cualquier instante t es de -32 pies/s², determina:

35. La ecuación de la función velocidad: V(T)=-32T+96
36. La velocidad a los 2 segundos: 120 pies/s
37. La ecuación de la función de posición S(t) de la partícula: -16T²+96T+60
38. La altura a la que se encuentra el proyectil sobre la superficie terrestre a los 5 segundos: 140 PIES