Cálculo de Probabilidades en Encuestas de Opinión e Ingresos

Probabilidad de Opinión Favorable

La probabilidad de que una persona seleccionada al azar tenga una opinión favorable se calcula de la siguiente manera:

P(A favor) = 598 / 1000 = 0.598

Probabilidad de Ingresos Bajos o de Oposición a la Reforma

Este es el caso de una unión de eventos. Para resolverlo, identificamos los siguientes datos:

• Personas con ingresos bajos: 336
• Personas en contra de la reforma: 402
• Personas con ingresos bajos y en contra de la reforma (intersección): 154

Aplicamos la fórmula de la probabilidad de la unión de dos eventos:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

Probabilidad de Ingresos Altos Dado el Apoyo a la Reforma

Para calcular la probabilidad condicional, utilizamos la siguiente relación:

P(Alto | A favor) = Personas con ingresos altos y a favor / Personas a favor

Probabilidad en Muestreos sin Reemplazo

Probabilidad de que Ninguno Tenga Ingresos Bajos

Primero, calculamos la probabilidad de que una persona no tenga un nivel de ingresos bajo:

P(No Bajo) = (351 + 313) / 1000 = 664 / 1000 = 0.664

Si extraemos a dos personas sin reemplazo, la probabilidad de que ambas no tengan ingresos bajos es:

P(Ninguno Bajo) = P(No Bajo) × (663 / 999) = 0.664 × 0.663 / 999 ≈ 0.441

Probabilidad de que al Menos Uno Esté a Favor de la Reforma

Calculamos primero la probabilidad de estar en contra:

P(En contra) = 402 / 1000 = 0.402

La probabilidad de que ambas personas estén en contra (es decir, que ninguno esté a favor) es:

P(Ambos en contra) = 0.402 × (401 / 999) ≈ 0.161

Entonces, la probabilidad de que alguno esté a favor se obtiene mediante el complemento:

P(Alguno a favor) = 1 - P(Ambos en contra) = 1 - 0.161 = 0.839

Probabilidad de que Ambos Estén en Contra de la Reforma

La probabilidad de que una persona esté en contra de la reforma es 402 / 1000. Realizando el cálculo sin reemplazo, la probabilidad de que ambas personas estén en contra es:

P(Ambos en contra) = (402 / 1000) × (401 / 999) ≈ 0.161

Independencia de los Eventos A y B

Los eventos A (a favor de la reforma) y B (nivel de ingresos alto) son independientes si se cumple la igualdad: P(A ∩ B) = P(A) × P(B)

• P(A) = 598 / 1000 = 0.598
• P(B) = 313 / 1000 = 0.313
• P(A ∩ B) = 203 / 1000 = 0.203

Calculamos el producto: P(A) × P(B) = 0.598 × 0.313 ≈ 0.187

Dado que P(A ∩ B) = 0.203 ≠ 0.187, se concluye que los eventos no son independientes.

Teoremas Fundamentales

Teorema de Bayes

La fórmula de Bayes se expresa como: P(A | B) = [P(B | A) · P(A)] / P(B). Este teorema se utiliza para actualizar nuestras creencias sobre un evento después de obtener nueva información.

Teorema de la Probabilidad Total

La probabilidad total se define mediante la fórmula: P(I) = P(A) · P(I | A) + P(B) · P(I | B) + P(C) · P(I | C). Este concepto explica que un evento puede ocurrir de diferentes maneras, dependiendo de la ocurrencia de otros eventos previos o condiciones del entorno.