Cálculo de Tensiones y Deformaciones en Estructuras Isostáticas e Hiperestáticas

Fundamentos de Resistencia de Materiales: Ecuaciones y Problemas Resueltos

Ecuación de Distribución de Tensiones Normales

La ecuación de distribución de tensiones normales (σx) se define como:

σx = N/A - (Mz/Iz)·y + (My/Iy)·z

Determinación de la Línea Neutra y Valores Extremos

Para la determinación de la línea neutra y los valores extremos, se tienen los siguientes parámetros:

• ymax = h/2 = 6
• zmax = b/2 = 3.2
• ymin = -6
• zmin = -3.2

Las tensiones máximas y mínimas se calculan como:

σmax = 37.879 + 3.145·ymax + 10.83·zmax = kp/cm²

σmin = 37.879 + 3.145·ymin + 10.83·zmin = -15.64 kp/cm²

Carga Axial Mínima para Tracción

Para que la estructura esté a tracción, el valor mínimo de la carga axial N se obtiene de la siguiente ecuación:

0 = N/13.2 - 3.145·6 - 10.83·3.2

Problema 4.9: Distribución de Tensiones en Empotramiento

Determinar la distribución de tensiones en el empotramiento. Los momentos flectores serán:

Mz = (-q·L²)/2 kp·cm

My = q·L kp·cm

Módulos Resistentes y Relaciones

Los módulos resistentes se definen como:

• Wz = Iz/ymax = h³/2
• Wy = Iy/zmax = 3h³/2

Y se establece la relación:

3Wz = Wy

b² = 9h²

Cálculo de σmax y Dimensiones

La tensión máxima (σmax) se calcula como:

σmax = 2600 = Mz/Wz + My/Wy = 190000/(3Wz)

De donde se obtiene:

Wz = 24.3 cm² = h³/2

De estos valores, se pueden determinar h y b, y con ellos, calcular σx.

Problema 4.10: Distribución de Tensiones Normales

Determinar la distribución de tensiones normales.

• σtracción = N/A = 37.53 kp/cm²
• Mz/Iz = 674
• My/Iy = 249

La metodología para calcular los momentos M se encuentra en el problema anterior.

Ecuación de la Línea Neutra (LN)

Para la Ecuación de la Línea Neutra (LN), se considera σ1 con y y z positivas, y σ2 con y y z negativas.

Problema 5.9: Esfuerzo Cortante y Descenso en Rótula B

Determinar el valor del esfuerzo cortante en la rótula B y el descenso en la rótula B.

Se divide la estructura en el punto B. Se introducen las reacciones J (ascendente) y J (descendente). Los diagramas de Tba (triangular, de menos a más) y Tbc (triangular, de más a menos) se establecen.

Contribución de J:

Aj = b·h/2 = J·(2a)²

Contribución de q:

Aq = b·h/3 = (2a·(2a)²·q)/3 = (4/3)·a³·q

Cálculo de Tba y Tbc

tba = (1/EI)·(Aj·Xgb + Aq·Xgb) = (1/EI)·((8/3)·a³·J - 2q·a⁴)

tbc = (1/EI)·(-q·a⁴/8 - J·a³/3)

Igualando tba y tbc:

tba = tbc

J = (5/8)·q·a

El descenso en la rótula B (δb) es:

tbc = (1/(3EI))·q·a⁴ = δb

Problema 5.8: Carga P en el Punto 2a

Similar al Problema 5.9, pero con una carga puntual P aplicada en la posición 2a.

Se divide la estructura en dos secciones, aplicando una carga V hacia abajo en una y P-V en la otra. Los diagramas de Tca (parabólico, de menos a más) y Tcb (parabólico, de más a menos) se establecen.

Tca = -8V·a³ / (3EI) = δc(V)

Tcb = -(P-V)·a³ / (3EI)

Igualando Tca y Tcb:

Tca = Tcb

8V = P-V

V = P/9

El descenso en el punto C (δc) es:

δc = -8P·a³ / (27EI)

Problema 5.5: Estructura con Carga P

Se analiza una estructura tipo 'monopatín'. En el extremo derecho libre se aplica una carga P. Las longitudes son 2a hasta el punto medio y a después. Se utilizan diagramas triangulares para Tba y Tca.

Tba/(2a) = Tca - δc/(3a) = δc

Se establecen las reacciones:

• Rya = P/2 (hacia abajo)
• Ryb = 3P/2 (hacia arriba)

Equilibrio de Fuerzas y Momentos

ΣFy: Rya + Ryb = P

ΣMa: Ryb·2a - P·3a = 0

Ryb = 3P/2

Rya = P - Ryb

Rya = -P/2

Diagrama de Momentos:

Se genera un diagrama de momentos con una forma piramidal y una parábola en la sección izquierda.

Aba = -P·a·2a·(1/2) = -P·a²

Xgb = (1/3)·2a = (2/3)a

tba = (Aba/EI)·Xgb = -2P·a³ / (3EI)

tca = (Aca/EI)·Xcg = (Aba·Xg_bac + Abc·Xg_bcc)·(1/EI)

Xg_bac = a + (1/3)·2a = (5/3)a

Abc = -P·a² / 2

Xg_bcc = (2/3)a

tca = -2P·a³ / EI

El descenso en el punto C (δc) es:

δc = -P·a³ / EI