Cálculos de Campos Eléctricos, Fuerzas y Ondas: Ejercicios Resueltos

Campo Eléctrico

Para cualquier x, el campo es nulo donde:

E(x) = (-kqx)/|x³| + k9q(x-2)/|x-2³|

Si x < 0, entonces E(x) = kq/x² - 9kq/(x-2)² = (x-2)² - 9x² = 0

Resolviendo la ecuación de segundo grado, nos quedamos con el resultado menor que 0 y x - resultado = E = 0

Fuerza Eléctrica entre Cargas

Tres cargas: 25uC (4,0), 25uC (0,-4) y -9uC(0,0). Calcular la fuerza que sufre una cuarta carga de 1uC (3,0).

F = k * q1 * 1uC / 25 * 10⁻⁴ * (3/5 i - 4/5 j) + k * q2 * 1uC / 25 * 10⁻⁴ * (3/5 i + 4/5 j) + k * q3 * 1uC / 9 * 10⁻⁴ * (i)

En las fracciones de posición, las coordenadas se dividen por la hipotenusa del triángulo.

F = 9 * 10⁹ * 25 * 10⁻¹² / 25 * 10⁻⁴ * (3/5 i - 4/5 j) + 9 * 10⁹ * 25 * 10⁻¹² / 25 * 10⁻⁴ * (3/5 i + 4/5 j) + 9 * 10⁹ * 9 * 10⁻¹² / 9 * 10⁻⁴ * (i) = 90 * (6/5 - 1) N i

Esfera Sólida y Esfera Hueca

Una esfera sólida rodeada por una esfera hueca:

• q1 = (4/3) * π * r1³ * ρ (sólida)
• q2 = 4 * π * r2² * σ (hueca)

Campos eléctricos:

• r < 4: E = kq1 / r1³ * r
• 4 < r < 7: E = kq1 / r²
• r > 7: E = k(q1 + q2) / r²

Potencial eléctrico:

• r < 4: V(r) = -kq1 / 2 * r1³ * r² + C1
• 4 < r < 7: V(r) = kq1 / r + C2
• r > 7: V(r) = k(q1 + q2) / r + C3

Gráfica de V invertida.

Ondas Mecánicas

Ecuación de onda: d²y/dx² = (1/v²) * d²y/dt²

Cuerda de 6m, onda tarda 0.5s en viajar, frecuencia 60Hz.

• v = L/T = m/s (velocidad)
• λ = v/f = m (longitud de onda)

Velocidad de onda en una cuerda: v = √(Ft/μ)

• μ = mc/L
• Ft = m * g (peso de la cuerda que cuelga)

v = √(m * g * L / mc) = m/s

Tiempo que tarda la onda en recorrer la cuerda: Δx / v = s

Tiempo que tarda un gusano: posición del gusano / velocidad del gusano = s

Velocidad del Sonido

v = √(σ * R * T / masa molecular del gas)

Si T está en °C, convertir a Kelvin: T(K) = T(°C) + 273

Ecuación de Onda y(x,t)

y(x,t) = 0.05 cos(2π(4t - 2x))

• Amplitud = 0.05
• Frecuencia angular (ω) = 8π
• Número de onda (k) = 4π
• Longitud de onda (λ) = 2π/k = 0.5
• Frecuencia = ω / 2π
• Periodo = 2π / ω
• Velocidad de propagación (v) = ω / k

Expresiones generales de velocidad y aceleración:

• v(t) = dy/dt = -8π * 0.05 sen(2π(4t - 2x))
• a(t) = d²y/dt² = -64π² * 0.05 cos(2π(4t - 2x))

Para x=1 y t=3:

• Elongación: Sustituir en y(x,t)
• v(t) = 0 (sen(1) = 0)
• a(t) = -64π² * 0.05 (cos(1) ≈ 1)

Onda en Cuerda

Se agita el extremo de una cuerda con frecuencia y amplitud. La perturbación viaja a la derecha con velocidad de 0.5 m/s.

• f = 2 Hz; ω = 4π s⁻¹; a = 3 cm = 0.03 m; v = 0.5 m/s
• λ = v * T = v / f = m
• k = 2π / λ

Si entre x y t hay un signo -, la onda viaja a la derecha; si es +, viaja a la izquierda.

Tensión en un Hilo

Hilo de 7m de largo, masa > 100 y tensión de 900 N.

• v = √(F/μ); μ = m/L; F = 900 N
• v = √(F * L / kg) = m/s

Partícula en Campo Magnético

Una partícula con carga -2e y velocidad de 10i + 20j m/s penetra en un campo magnético B = 0.1i T. Dato: e = 1.6 * 10⁻¹⁹ C.

Fuerza sobre la partícula: F = q * v x B = -2 * 1.6 * 10⁻¹⁹ C * (10i + 20j) m/s x 0.1i T

F = -6.4 * 10⁻¹⁹ N k (porque i x i = 0, j x i = -k)

Para que la partícula se mueva en línea recta: v = E / B

E = vy * B = 20 m/s * 0.1 T = 2 N/C

Protón en Campo Magnético

Un protón penetra perpendicularmente en un campo magnético.

• R = m * v / (e * B) = m
• F = e * v x B = N k