Cinemática Fundamental: Vectores, Aceleración y Tipos de Movimiento
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1. Definiciones Cinemáticas
Vector de Posición: r(t)
El vector que fija la posición del móvil en cada instante del tiempo.
Su expresión en coordenadas cartesianas es:
r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k
Las coordenadas de la posición son funciones del tiempo, y se denominan ecuaciones paramétricas del movimiento: x(t), y(t), z(t).
Trayectoria: s(t)
La curva que describe el punto en su movimiento. La trayectoria se determina eliminando el tiempo en las ecuaciones paramétricas.
Vector Velocidad: v(t)
La velocidad mide lo rápido que cambia la posición del móvil. Se expresa como la derivada del vector de posición respecto del tiempo.
v = dr/dt = (dx/dt)i + (dy/dt)j + (dz/dt)k = vxi + vyj + vzk
El vector velocidad siempre es tangente, en cada punto, a la trayectoria que describe el cuerpo.
El módulo de la velocidad (v) se conoce como celeridad o rapidez. Se calcula como:
v = √(vx² + vy² + vz²) = ds/dt
Vector Aceleración: a(t)
La aceleración mide lo rápido que cambia la velocidad del móvil. Relaciona los cambios de la velocidad con el tiempo que tardan en producirse y se expresa como la derivada del vector velocidad respecto del tiempo.
a = dv/dt = (dvx/dt)i + (dvy/dt)j + (dvz/dt)k
La dirección y sentido del vector aceleración es hacia la concavidad de la curva.
2. Componentes Intrínsecas de la Aceleración (en el Plano)
La aceleración instantánea tiene sentido físico en un sistema de referencia constituido por la tangente a la trayectoria y la normal (o perpendicular) a la trayectoria.
- Eje tangencial (t): vector unitario ut
- Eje normal (n): vector unitario un
En este sistema, la velocidad y aceleración se expresan como:
- Velocidad, tangente a la trayectoria: v = vut
- Aceleración, hacia la concavidad de la trayectoria: a = atut + anun
Relacionando los vectores unitarios, se obtienen las componentes:
- Aceleración tangencial (at): Mide el cambio en el módulo de la velocidad.
at = dv/dt
Aceleración normal (an): Mide el cambio en la dirección de la velocidad.an = v²/R (donde R es el radio de curvatura)
Comparación de coordenadas:
- Coordenadas cartesianas: a = axi + ayj
- Coordenadas intrínsecas: a = atut + anun
3. Tipos de Movimiento
Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU)
- Aceleración (a) = 0
- Velocidad (v) = constante
- Trayectoria: línea recta
Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (MRUA)
Si el movimiento se hace coincidir con el eje X:
- Aceleración (a) = constante
- La velocidad cambia uniformemente.
- Trayectoria: línea recta
De los movimientos uniformemente acelerados (aceleración constante) no rectilíneos, cabe destacar el movimiento parabólico (o de proyectiles), donde la aceleración es g (aceleración de la gravedad).
Movimiento Circular
Al ser la trayectoria circular, el radio de curvatura (R) es el radio de la circunferencia, el cual es constante. La trayectoria es una circunferencia.
La longitud de un arco de circunferencia es: s = Rθ
Velocidad tangencial: v = ωR
Componentes Intrínsecas de la Aceleración en el Movimiento Circular:
- Aceleración tangencial (at): at = αR (donde α es la aceleración angular)
- Aceleración normal (an): an = ω²R (también conocida como aceleración centrípeta)
Expresiones Vectoriales del Movimiento Circular:
Considerando un sistema de coordenadas polares con vector unitario radial ur y tangencial uθ (o ut):
- Posición: r = Rur
- Velocidad: v = ωRuθ (o ωRut)
- Aceleración: a = (dω/dt)Ruθ - ω²Rur = αRuθ - ω²Rur
4. Relación entre Cinemática Angular y Lineal
Para un punto en un cuerpo rígido en rotación:
- Velocidad: v = ω × r
- Aceleración: a = α × r + ω × (ω × r)
Donde:
- Aceleración tangencial (at): at = |α × r| = αr (magnitud)
- Aceleración normal o radial (an): an = |ω × (ω × r)| = ω²r (magnitud, dirigida hacia el centro de rotación)
Expresión General de la Aceleración en Coordenadas Intrínsecas:
a = (dv/dt)ut + (v²/R)un
Vectores Unitarios en Coordenadas Polares
En el estudio del movimiento circular, es común utilizar coordenadas polares (r, θ) con sus respectivos vectores unitarios:
- Vector unitario radial (ur): Dirigido hacia afuera desde el origen.
ur = cos(θ)i + sen(θ)j
Vector unitario tangencial (uθ): Perpendicular al vector radial, en la dirección de incremento de θ.uθ = -sen(θ)i + cos(θ)j
En el movimiento circular, el vector unitario tangencial ut es equivalente a uθ, y el vector unitario normal un (dirigido hacia el centro de la circunferencia) es equivalente a -ur.