Círculo de Mohr: Cálculo de Tensiones en Estado Biaxial

El círculo de Mohr es una herramienta gráfica utilizada para el cálculo de tensiones en planos con distintas orientaciones alrededor de un punto de una pieza sometida a un estado tensional biaxial. Se utiliza como recurso gráfico para visualizar y determinar las tensiones principales y cortantes máximas en un elemento.

Consideraciones para la Construcción del Círculo de Mohr

Para dibujar correctamente el círculo de Mohr, se deben tener en cuenta los siguientes detalles:

• El sentido de giro del ángulo en el círculo corresponde con el sentido de giro del plano AB en la realidad.
• El signo de las tensiones tangenciales (τ) se toma como positivo si giran en sentido de las agujas del reloj alrededor del elemento diferencial, y negativo en caso contrario.
• El ángulo entre dos radios del círculo equivale al doble del ángulo entre los planos reales correspondientes.

El círculo se dibuja en el plano σ-τ, donde cada punto de la circunferencia representa las tensiones normales (σ) y cortantes (τ) en un plano AB con una inclinación cualquiera. Los puntos X e Y corresponden a los planos perpendiculares a los ejes X e Y, y se sitúan a 180º en el círculo. En general, dos planos entre los cuales hay un ángulo Φ en la realidad están separados un ángulo de 2Φ en el círculo de Mohr.

(Insertar aquí las fórmulas respectivas del círculo de Mohr, como el radio, el centro y las ecuaciones para calcular las tensiones principales y cortantes máximas)

Teorema de Reciprocidad de las Tensiones Tangenciales

Considerando un elemento diferencial, las tensiones en sus distintas caras son:

• σ_nx = σ_nx + (dσ_nx/dx) dx
• τ_xy = τ_xy + (dτ_xy/dx) dx
• τ_zx = τ_zx + (dτ_zx/dx) dx

Sobre el paralelepípedo actúan fuerzas de masa por unidad de volumen, cuyos componentes cartesianos son X, Y y Z. Planteando las ecuaciones de equilibrio estático del paralelepípedo aislado, se obtienen las ecuaciones de equilibrio interno:

• X + (dσ_nx/dx) + (dτ_xy/dy) + (dτ_xz/dz) = 0
• Y + (dτ_xy/dx) + (dσ_ny/dy) + (dτ_yx/dz) = 0
• Z + (dτ_xz/dx) + (dτ_zy/dy) + (dσ_nz/dz) = 0

Del equilibrio de momentos, despreciando las fuerzas de volumen por ser infinitesimales de tercer orden frente a las fuerzas que actúan sobre las caras debidas a las tensiones (que son infinitesimales de segundo orden), se obtiene:

• τ_yz = τ_zy
• τ_zx = τ_xz
• τ_xy = τ_yx

Conclusión del Teorema de Reciprocidad

En resumen, los componentes de las tensiones cortantes en un punto, correspondientes a dos planos perpendiculares en dirección normal a la arista de su diedro, son iguales.

Aplicación del Círculo de Mohr

El círculo de Mohr es un método basado en consideraciones geométricas simples para obtener soluciones gráficas de tensiones. Permite visualizar la relación entre las tensiones normales y cortantes en diferentes planos y determinar las tensiones principales y cortantes máximas.

(Insertar aquí una imagen del círculo de Mohr con las tensiones principales y un cuadrado girado un ángulo Φ)