Clasificación de Triángulos y Cuadriláteros: Propiedades y Teoremas

Criterios de Congruencia de Triángulos

CRITERIO 1: Dos triángulos que tienen los tres lados respectivamente iguales por parejas son dos triángulos iguales.

CRITERIO 2: Dos triángulos que tienen dos lados respectivamente iguales y el ángulo comprendido entre ellos también igual, son dos triángulos iguales.

CRITERIO 3: Dos triángulos que tienen un lado igual y los ángulos contiguos respectivamente iguales, son dos triángulos iguales.

Clasificación de Ángulos

Internos: 3-4-5-6: dentro de las paralelas.

Externos: 1-2-7-8: fuera de las paralelas.

Colaterales internos: 4 y 5 - 3 y 6: están del mismo lado de la transversal y dentro de las paralelas.

Colaterales externos: 1 y 8 - 2 y 7: del mismo lado de la transversal y fuera de las paralelas.

Correspondientes: 2 y 6 - 3 y 7 - 1 y 5 - 4 y 8: ángulos del mismo lado de la transversal L, uno interno, otro externo que no sean adyacentes.

Alternos internos: 3 y 5 - 4 y 6: son los que están en diferente lado de la transversal L, dentro de las paralelas y no son adyacentes.

Alternos externos: 1 y 7 - 2 y 8: están a diferente lado de la transversal, fuera de las paralelas y no son adyacentes.

Clasificación de Cuadriláteros

Paralelogramo: Dos parejas de lados paralelos.

Trapecio: Un par de lados paralelos.

Trapezoide: Ningún lado paralelo.

Cometa: Lados iguales por parejas.

Trapecio isósceles: Los lados no paralelos son iguales.

Trapecio rectángulo: Uno de los lados no paralelos es perpendicular a los paralelos.

Paralelogramo:

• Lados iguales: 4 lados iguales (rombos).
• Ángulos iguales: 4 ángulos iguales (rectángulos).

Propiedades de las Diagonales

Rectángulos

Las diagonales de un rectángulo son iguales: Al ser un paralelogramo, el rectángulo tiene lados opuestos iguales. Los triángulos formados por las diagonales comparten un lado (la diagonal) y tienen dos lados iguales (lados opuestos del rectángulo) y el ángulo comprendido igual (ángulo recto). Entonces, por el criterio 2 de congruencia de triángulos, los triángulos son iguales, por lo que las diagonales también.

Paralelogramos

Las diagonales de los paralelogramos se cortan en el punto medio: Usando el criterio 3 de congruencia de triángulos, se puede demostrar que los triángulos formados por las diagonales son iguales. Por lo tanto, los segmentos de las diagonales son iguales, lo que significa que se cortan en el punto medio.

Ejemplo de Aplicación

Estudia el triángulo REF: Si ABCDEF y APQRF son regulares y comparten el lado AF, AF = FE = FR, por lo que REF es equilátero.

Ángulo interno: α y β coinciden con el ángulo interno de un pentágono regular, que es 108º. Por lo tanto, α = β = 108º.

Cálculo de γ y δ: Observando los triángulos ABP y FRE, que son iguales por el segundo criterio de congruencia, podemos calcular γ y δ:

1. El ángulo interno de un hexágono regular es 120º, y el de un pentágono regular es 108º, por lo que la diferencia es 12º.
2. Los ángulos ω y ω' son iguales a (180º - 12º) / 2 = 84º.
3. Finalmente, δ = γ = 180º - 84º = 96º.

Cálculo de M: La suma de los ángulos internos de un pentágono es 540º. Por lo tanto, M = 540º - 108º - 96º - 96º = 132º.