Comparativa de Métodos Numéricos para Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Introducción a los Métodos de Aproximación para Ecuaciones Diferenciales

Método de Euler

Este método se aplica para encontrar la solución a ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO), esto es, cuando la función involucra solo una variable independiente. El método se basa, de forma general, en la pendiente estimada de la función para extrapolar desde un valor anterior a un nuevo valor. De esta manera, el método se aplica paso a paso para encontrar un valor en el futuro y así trazar la trayectoria de la solución.

El método de Euler utiliza la pendiente al inicio del intervalo como una aproximación de la pendiente promedio sobre todo el intervalo. La primera derivada proporciona una estimación directa de la pendiente en $x_i$.

Método de Heun

Este método es una mejora que se efectúa sobre el Método de Euler. En Euler, se aproxima el siguiente valor de la función conociendo dónde se encuentra ahora y la pendiente en el punto actual. Esto puede llevar a una mala aproximación, pues la pendiente de la función puede cambiar en el intervalo analizado, y Euler arrojaría un valor muy alejado.

Heun propone tomar en consideración tanto la pendiente en el punto actual como la pendiente en el siguiente punto, promediadas.

Método de Taylor

Este método utiliza la expansión de Taylor alrededor de un punto y puede alcanzar cualquier orden de error que se desee.

Método Mejorado del Polígono (Euler Modificado)

El método mejorado del polígono emplea el método de Euler para predecir un valor de $y$ en el punto medio del intervalo. Entonces esta predicción del valor de $y$ se utiliza en la aproximación de la pendiente en el punto medio, la cual es una aproximación válida de la pendiente promedio en el intervalo completo. Esta pendiente se usa para extrapolar linealmente el valor de la función en el siguiente punto mediante el método de Euler.

Conceptos Relacionados: Solución de Derivadas Parciales y Gradiente

El concepto de derivada permite obtener la pendiente de la recta tangente a una función en un punto dado. Esta recta es paralela al plano formado por el eje de la incógnita respecto a la cual se ha hecho la derivada y el eje $z$.

El Gradiente

Analíticamente, el gradiente de una función es la máxima pendiente de dicha función en la dirección que se elija. Mientras visto desde el álgebra lineal, la dirección del gradiente nos indica hacia dónde hay mayor variación en la función.