Compendio de Fórmulas Esenciales de Cálculo Diferencial e Integral y Trigonometría

Fórmulas Fundamentales de Cálculo y Trigonometría

Identidades Trigonométricas

Relaciones Recíprocas y de Cociente

• sen(x) = 1/cosec(x)
• cosec(x) = 1/sen(x)
• cos(x) = 1/sec(x)
• sec(x) = 1/cos(x)
• tg(x) = 1/cotg(x)
• cotg(x) = 1/tg(x)
• tg(x) = sen(x)/cos(x) = sec(x)/cosec(x)
• cotg(x) = cos(x)/sen(x)

Identidades Pitagóricas

• sen²(x) + cos²(x) = 1
• sec²(x) = tg²(x) + 1
• cosec²(x) = cotg²(x) + 1

Otras Relaciones y Expresiones

• sen(x) = cos(x)/cotg(x) = tg(x)/sec(x)
• cos(x) = sen(x)/tg(x) = cotg(x)/cosec(x)
• cosec(x) = cotg(x)/cos(x)
• sec(x) = cosec(x)/cotg(x)
• sec²(x) = sec(x)/cos(x)
• cosec²(x) = cosec(x)/sen(x)
• cotg²(x) = cotg(x)/tg(x)
• sen²(x) = sen(x)/cosec(x)
• cos²(x) = cos(x)/sec(x)
• tg²(x) = tg(x)/cotg(x)

Tabla de Integrales Inmediatas (Antiderivadas)

Nota: Todas las integrales indefinidas incluyen la constante de integración (+ C).

• ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹ / (n+1), si n ≠ -1 (Corrección de la fórmula original)
• ∫ 1/x dx = ln|x|
• ∫ eˣ dx = eˣ
• ∫ aˣ dx = aˣ / ln(a)
• ∫ sen(x) dx = -cos(x)
• ∫ cos(x) dx = sen(x)
• ∫ 1/cos²(x) dx = ∫ sec²(x) dx = tg(x)
• ∫ 1/sen²(x) dx = ∫ cosec²(x) dx = -cotg(x)
• ∫ 1/(1+x²) dx = arctg(x)
• ∫ 1/√(1-x²) dx = arcsen(x)
• ∫ sec(x) * tg(x) dx = sec(x)
• ∫ cosec(x) * tg(x) dx = cosec(x) (Esta fórmula es inusual; la integral de cosec(x)cotg(x) es -cosec(x))
• ∫ sec(x) dx = ln |sec(x) + tg(x)|

Conceptos Fundamentales de Integración y Derivación

Derivada Implícita

Cuando las variables x e y están vinculadas por una función implícita f(x, y) = 0. Esto resulta en que y está definida en función de x, y el conjunto de puntos (x, y) define una curva. Para calcular la pendiente es necesario conocer la derivada de y con respecto a x. Aplicando formalmente las reglas de diferenciación y la regla de la cadena, se obtiene la derivada buscada.

Método de Sustitución

Sean f y g funciones que satisfacen la regla de la cadena para una función compuesta. Si F es una primitiva de f, entonces la integral por sustitución (donde u = g(x)) se define como:

$$\int f(g(x)) \cdot g'(x) dx = F(u) + C$$

Integral Definida

Si la función f está definida en un intervalo cerrado [a, b] y el límite de la suma de Riemann existe, entonces decimos que f es integrable en [a, b]. Este límite se denota como la integral definida:

$$\lim_{||\Delta|| \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x_i = \int_{a}^{b} f(x) dx$$

Llamamos integral definida de f entre [a, b] a este límite. a es el límite inferior y b es el límite superior de integración.

Teorema Fundamental del Cálculo

Si una función f es continua en el intervalo cerrado [a, b], y F es cualquier antiderivada de f, entonces:

$$\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$$

Cambio de Variable para Integrales Definidas

Si la función u = g(x) tiene una derivada continua en [a, b] y f tiene una integral indefinida sobre el recorrido de g, entonces la regla de cambio de variable para integrales definidas establece:

$$\int_{a}^{b} f(g(x)) \cdot g'(x) dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u) du$$