Compendio de Fórmulas Esenciales de Geometría Analítica y Trigonometría

Fórmulas Fundamentales de Geometría Analítica

A continuación, se presentan las fórmulas clave utilizadas en la geometría analítica para el cálculo de distancias, pendientes, puntos medios y áreas.

Cálculo de Puntos y Segmentos

• Distancia entre dos puntos ($D$):

  $D = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

• Pendiente de la recta ($m$):

  $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

• Punto Medio ($P_m$):

  $P_m = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$

  Nota: Se ha corregido la notación original para reflejar la fórmula estándar del punto medio.

• Área del Polígono (Triángulo con coordenadas):

  $A = \frac{x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)}{2}$

Ecuaciones de la Recta y la Circunferencia

• Ecuación de la Recta (Punto-Pendiente):

  $y = y_1 + m(x - x_1)$

• Ecuación General de la Recta:

  $Ax \pm By \pm C = 0$

Ecuación de la Circunferencia

Para determinar la ecuación de la circunferencia, es necesario hallar las coordenadas del centro $(h, k)$ y el radio $(r)$.

Cálculo del Centro $(h, k)$ a partir de tres puntos

Coordenada $h$:

$h = \frac{(x_1^2 + y_1^2)(y_2 - y_3) + (x_2^2 + y_2^2)(y_3 - y_1) + (x_3^2 + y_3^2)(y_1 - y_2)}{2(x_1(y_2 - y_3) - y_1(x_2 - x_3) + (x_2 \cdot y_3) - (x_3 \cdot y_2))}$

Coordenada $k$:

$k = \frac{(x_1^2 + y_1^2)(x_3 - x_2) + (x_2^2 + y_2^2)(x_1 - x_3) + (x_3^2 + y_3^2)(x_2 - x_1)}{2(x_1(y_2 - y_3) - y_1(x_2 - x_3) + (x_2 \cdot y_3) - (x_3 \cdot y_2))}$

Ecuación Canónica y Radio

• Ecuación Canónica de la Circunferencia ($E_c$):

  $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$

• Radio ($r$):

  $r = \sqrt{(x_1 - h)^2 + (y_1 - k)^2}$

Clasificación y Propiedades de los Triángulos (∆)

Clasificación según sus Ángulos

• Triángulos Rectángulos (TR): Son los triángulos que se caracterizan por tener un ángulo recto (90°) en su interior.
• Triángulos Obtusángulos (TO): Son los triángulos que se caracterizan por tener un ángulo obtuso (mayor a 90°) en su interior.
• Triángulos Acutángulos (TA): Son los triángulos que se caracterizan por tener tres ángulos agudos (menores a 90°) en su interior.

Subclasificación de Triángulos Oblicuángulos

Los triángulos oblicuángulos son aquellos que carecen de un ángulo recto. Esta clasificación incluye a los Triángulos Acutángulos (TA) y los Triángulos Obtusángulos (TO).

Relaciones Trigonométricas Fundamentales

Las razones trigonométricas básicas se definen en función de los lados de un triángulo rectángulo (co = cateto opuesto, ca = cateto adyacente, h = hipotenusa):

Las razones trigonométricas que nos ayudan a calcular la amplitud de un ángulo interior en un triángulo son las inversas (Arcsen, Arccos, Arctan).

Configuración de Calculadora y Verdad o Falsedad

Configuración de Calculadora

• Para poder realizar cálculos en tu calculadora con grados sexagesimales, debe estar programada en modo D (Degrees).
• Para programar tu calculadora a cierto número de dígitos, debe estar en modo FIX.

Verdadero (V) o Falso (F) en Geometría

1. Para resolver todo triángulo oblicuángulo, deben utilizarse las razones trigonométricas. (F)

2. La suma de dos ángulos exteriores en un triángulo es igual a la medida de un ángulo interior no adyacente. (F)

3. La suma de los tres ángulos interiores de un triángulo debe ser de 180°. (V)

4. Para todo triángulo rectángulo isósceles, sus ángulos agudos deben medir 45° cada uno. (V)

5. La propiedad de los triángulos llamada desigualdad triangular establece que la diferencia de la longitud entre dos lados de un triángulo deberá ser mayor al tercero. (F)

6. En todo triángulo rectángulo, el segmento de menor longitud se le conoce como hipotenusa y es opuesto al ángulo recto. (F)

7. Todo triángulo rectángulo debe cumplir el teorema de Pitágoras. (V)

8. La principal característica de los triángulos oblicuángulos es que carecen de un ángulo recto en su interior. (V)

9. La clasificación de los triángulos según sus lados es: Equilátero, Isósceles y Escaleno. (V)

10. La clasificación de los triángulos según la medida de sus ángulos es acutángulos y obtusángulos. (F) (Falta el Triángulo Rectángulo)