Compendio de Fórmulas y Métodos Esenciales de Álgebra y Geometría

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Método Gráfico

1. Despejamos la variable x o y en ambas ecuaciones.
2. Se elabora una tabla de valores para cada ecuación.
3. Dibujamos los puntos obtenidos y trazamos las rectas. La solución es el punto de corte.

Método de Sustitución

1. Despejamos x o y en alguna ecuación.
2. Sustituimos la expresión obtenida en el paso 1 en la otra ecuación.
3. Resolvemos la ecuación obtenida en el punto anterior.
4. Calculamos el valor de la otra variable sustituyendo el valor obtenido.

Método de Igualación

1. Despejamos x o y en ambas ecuaciones.
2. Igualamos las dos expresiones obtenidas.
3. Resolvemos la ecuación resultante.
4. Calculamos el valor de la otra variable sustituyendo el valor obtenido en una de las ecuaciones originales.

Método de Reducción

1. Multiplicamos una o ambas ecuaciones por números determinados para que los coeficientes de una variable sean opuestos.
2. Sumamos ambas ecuaciones.
3. Resolvemos la ecuación resultante.
4. Calculamos el valor de la otra variable sustituyendo el valor obtenido.

Fórmulas de Áreas y Volúmenes de Cuerpos Geométricos

Nota: Ab = Área de la base, Al = Área lateral, At = Área total, V = Volumen, h = altura, l = lado, r = radio, g = generatriz.

• Cubo

  Ab = l² Al = 4 · l² At = Al + 2 · Ab V = Ab · h

• Octaedro (Fórmulas de Prisma Rectangular)

  Ab = b · h Al = 2(a + b) At = Al + 2Ab V = Ab · h

• Prisma (Base Poligonal Regular)

  Ab = (Pb · apb) / 2 Al = P · h At = Al + 2Ab V = Ab · h

• Cilindro

  Ab = π · r² Al = 2 · π · r · h At = Al + 2Ab V = Ab · h

• Pirámide

  Ab = (Pb · apb) / 2 Al = (n lados · b · h) / 2

  At = Al + Ab V = (Ab · h) / 3

• Cono

  Ab = π · r² Al = π · r · G At = Al + Ab V = (Ab · h) / 3

• Tronco de Pirámide

  Al = n lados + A trapecio

  At = Al + Ab₁ + Ab₂ V = (1/3) · (Ab₁ + Ab₂ + √(Ab₁ · Ab₂)) · h

• Tronco de Cono

  Ab₁ = π · R² Ab₂ = π · r²

  Al = π(R + r) · g At = Al + Ab₁ + Ab₂

  V = (1/3) · (Ab₁ + Ab₂ + √(Ab₁ · Ab₂)) · h

• Esfera

  A = 4 · π · r² V = (4/3) · π · r³

Ecuaciones de Segundo Grado

Fórmula General (Ecuación Completa)

Forma: ax² + bx + c = 0

• Caso 1: a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0 (Completa)
• Fórmula: x = ​(-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

Ecuaciones Incompletas

• Caso 2: a ≠ 0, b ≠ 0, c = 0

  Forma: ax² + bx = 0

  1. Sacamos factor común (x).
  2. Una solución es x = 0.
  3. La segunda solución se obtiene resolviendo la ecuación de primer grado: ax + b = 0.

• Caso 3: a ≠ 0, b = 0, c ≠ 0

  Forma: ax² + c = 0

  1. Despejamos x²: x² = -c/a.
  2. Despejamos x aplicando la raíz cuadrada.
  3. Soluciones: x = ±√(-c/a)

Funciones Lineales y Afines

Función Lineal (Proporcionalidad Directa)

• Ecuación tipo: y = ax (o y = mx).
• La constante a es la pendiente.
• Pasan por el punto (0, 0) (el origen).
• Dominio: Todos los números reales (R).
• Monotonía:
  • Si a > 0: Creciente.
  • Si a < 0: Decreciente.
  • Si a = 0: Constante (y = 0).
• Son continuas, no tienen máximo ni mínimo.
• No son periódicas.

Función Afín

• Ecuación tipo: y = ax + b.
• a = Pendiente.
• b = Ordenada en el origen (punto de corte con el eje Y).
• Pasa por el punto (0, b).
• Dominio: Todos los números reales (R).
• Monotonía:
  • Si a > 0: Creciente.
  • Si a < 0: Decreciente.
  • Si a = 0: Constante (y = b).
• Es continua.
• No tiene máximo ni mínimo.
• No es periódica.

Parábolas (Función Cuadrática)

Función de la forma y = ax² + bx + c, con a ≠ 0.

• Si a > 0: La parábola abre hacia arriba (tiene un mínimo).
• Si a < 0: La parábola abre hacia abajo (tiene un máximo).
• Dominio: Todos los números reales (R).

• Vértice (Punto Extremo)

  Fórmula: V = (-b/2a , f(-b/2a))

• Eje de Simetría

  Recta vertical: x = -b/2a

• Puntos de Corte

  • Eje X: Imponemos y = 0. Resolvemos la ecuación cuadrática ax² + bx + c = 0.
  • Eje Y: Imponemos x = 0. El punto de corte es (0, c).
• Todas las funciones cuadráticas son continuas y no periódicas.