Compendio de Fórmulas y Teoremas de Álgebra, Cálculo y Geometría

Fórmulas Fundamentales de Matemáticas Superiores

Álgebra Lineal y Sistemas de Ecuaciones

Matriz Inversa y Solución de Sistemas

• Matriz Inversa: $A^{-1} = \frac{(\text{Adj}(A))^t}{|A|}$
• Solución Matricial: Si $AX=B$, entonces $X = A^{-1}B$.

Teorema de Rouché-Frobenius

Un sistema de ecuaciones lineales es:

• Compatible si $\text{Rg}(A) = \text{Rg}(A^*)$.
  • Compatible Determinado (Solución Única) si $\text{Rg}(A) = \text{número de incógnitas}$.
  • Compatible Indeterminado (Infinitas Soluciones) si $\text{Rg}(A) < \text{número de incógnitas}$.
• Incompatible (Sin Solución) si $\text{Rg}(A) \neq \text{Rg}(A^*)$.

Producto Escalar (Producto Punto)

El producto escalar de dos vectores $u$ y $v$ es:

$u \cdot v = |u||v| \cos(u,v) = x x' + y y' + z z'$

Geometría Analítica del Espacio

Ecuaciones de Rectas y Planos

• Recta: Ecuación vectorial $x = a + \lambda u$
• Plano: Ecuación vectorial $x = a + \lambda u + \mu v$. Forma determinante (Producto Mixto): $|u, v, x-a| = 0$

Cálculo de Ángulos y Distancias

• Seno del ángulo entre Recta ($r$) y Plano ($\pi$): $\text{sen}(r, \pi) = \frac{|u \cdot n|}{|u||n|}$
• Distancia de un Punto ($P$) a un Plano ($\pi$): $d(P, \pi) = \frac{|AP \cdot n|}{|n|}$ (donde $A$ es un punto del plano y $n$ es el vector normal)
• Distancia entre Planos Paralelos ($\pi_1, \pi_2$): $d(\pi_1, \pi_2) = \frac{|d - d'|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$
• Distancia de un Punto ($P$) a una Recta ($r$): $d(P, r) = \frac{|(x'-x, y'-y, z'-z) \times (a, b, c)|}{|(a, b, c)|}$
• Distancia entre Rectas ($r, s$): $d(r, s) = \frac{|\text{det}(\vec{A'A}, u, v)|}{|u \times v|}$

Cálculo Diferencial e Integral

Infinitésimos Equivalentes (cuando $x \to 0$)

Cuando $x \to 0$, se cumplen las siguientes equivalencias:

• $x \approx \text{sen}(x)$
• $x \approx \text{tg}(x)$
• $x \approx \ln(1+x)$
• $x \approx e^x - 1$
• $x \approx \text{arcsen}(x)$
• $x \approx \text{arctg}(x)$
• $1 - \cos(x) \approx \frac{x^2}{2}$

Nota: Cuando $x \to 1$, $x-1 \approx \ln(x)$.

Teoremas de Continuidad y Derivabilidad

Teorema de Bolzano

Si $f$ es una función real y continua en $[a, b]$, y el signo de $f(a)$ es diferente al signo de $f(b)$, entonces existe un valor $c$ que pertenece a $(a, b)$ tal que $f(c) = 0$.

Definición de Derivada

La derivada de $f(x)$ en un punto $a$ se define como:

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

Teorema de Rolle

Si $f$ es continua en $[a, b]$ y derivable en $(a, b)$, y además $f(a) = f(b)$, entonces existe un valor $c$ en $(a, b)$ con $f'(c) = 0$.

Teorema del Valor Medio (Lagrange)

Si $f$ es continua en $[a, b]$ y derivable en $(a, b)$, existe un valor $c$ perteneciente a $(a, b)$ tal que:

$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$

Fórmulas de Derivación Básicas

• $(e^x)' = e^x$
• $(a^x)' = a^x \ln a$
• $(\ln x)' = 1/x$
• $(\log_a x)' = 1/(x \ln a)$
• $(\text{sen } x)' = \cos x$
• $(\cos x)' = -\text{sen } x$
• $(\text{tg } x)' = \sec^2 x$
• $(\text{arcsen } x)' = 1/\sqrt{1-x^2}$
• $(\text{arctg } x)' = 1/(1+x^2)$

Fórmulas de Integración Básicas

• $\int x^r dx = \frac{x^{r+1}}{r+1} + C$ (si $r \neq -1$)
• $\int x^{-1} dx = \ln|x| + C$
• $\int e^x dx = e^x + C$
• $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$
• $\int \cos x dx = \text{sen } x + C$
• $\int \text{sen } x dx = -\cos x + C$
• $\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \text{arcsen } x + C$
• $\int \frac{1}{1+x^2} dx = \text{arctg } x + C$

Técnicas de Integración

• Integración por Partes: Se utiliza la fórmula $\int u dv = uv - \int v du$. Para elegir $u$ (la función a derivar) y $dv$ (la función a integrar), se recomienda seguir el orden LIATE (Logarítmicas, Inversas, Algebraicas, Trigonométricas, Exponenciales).
• Descomposición en Factores Simples (Fracciones Parciales).
• Cambio de Variable: Ejemplo: $\int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} dx$.

  Sea $t = \sqrt{x}$. Entonces $dt = \frac{1}{2\sqrt{x}} dx$.

  $\int e^t \cdot 2 dt = 2e^t + C = 2e^{\sqrt{x}} + C$

Teorema Fundamental del Cálculo

Derivada de una Integral con Límites Variables:

Si $F(x) = \int_{v(x)}^{u(x)} f(t) dt$, entonces $F'(x) = f(u(x))u'(x) - f(v(x))v'(x)$.

Geometría Cónica: Propiedades de la Elipse

Las siguientes propiedades son fundamentales para el dibujo y construcción geométrica de la elipse:

Propiedades de la Tangente

1. La imagen del foco respecto a la tangente se encuentra en la otra circunferencia focal.
2. La dirección que une el foco con su imagen es perpendicular a la dirección de la tangente.
3. La tangente es la mediatriz del segmento que une el foco con su imagen reflejada.

Construcción de Tangentes desde un Punto Exterior

Para trazar las tangentes a la elipse desde un punto exterior $P$:

1. Se utiliza una circunferencia focal (por ejemplo, la de centro $F_1$ y radio $2a$).
2. Se traza una circunferencia con centro en el punto exterior $P$ y radio hasta el otro foco ($F_2$).
3. Los puntos donde se cortan estas dos circunferencias (las imágenes $F'_2$) se unen al foco $F_2$.
4. Las mediatrices de los segmentos $F_2 F'_2$ son las tangentes buscadas.

Intersección de la Elipse con una Recta

El procedimiento geométrico para hallar las intersecciones (puntos de corte) entre la elipse y una recta $R$ implica:

1. Hallar la imagen del foco ($F_1$) respecto a la recta $R$ ($F'_1$).
2. Trazar la otra circunferencia focal (centro $F_2$, radio $2a$).
3. Trazar una circunferencia auxiliar que pase por el foco $F_1$ y su imagen $F'_1$.
4. Hallar el eje radical de esta circunferencia auxiliar y la circunferencia focal.
5. Donde el eje radical corte a la prolongación del segmento $F_1 F'_1$, se trazan tangentes a la circunferencia auxiliar.
6. Donde esta curva (la circunferencia auxiliar) corte a la circunferencia focal, se une con el centro de la circunferencia focal ($F_2$).
7. La solución (los puntos de intersección) se encuentra donde esta línea corte a la recta inicial $R$.

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