Compendio de Teoremas Geométricos Fundamentales

Teoremas Fundamentales de Triángulos y Líneas Paralelas

T12: Teorema de la Mediana a la Hipotenusa

La mediana trazada a la hipotenusa de cualquier triángulo rectángulo mide la mitad de la longitud de la hipotenusa.

T13: Teorema de la Altura en Triángulos Rectángulos

En cualquier triángulo rectángulo, la altura trazada a la hipotenusa forma dos triángulos rectángulos que son semejantes entre sí y, a su vez, cada uno es semejante al triángulo original.

T14: Teorema de la Paralela a un Lado del Triángulo

Si una recta es paralela a un lado de un triángulo y corta a los otros dos lados en puntos distintos, entonces los divide en segmentos proporcionales.

T15: Recíproco del Teorema de la Paralela a un Lado del Triángulo

Si una recta corta a dos lados de un triángulo en puntos distintos y divide a estos lados en segmentos proporcionales, entonces la recta es paralela al tercer lado.

Teorema de Thales

Si tres o más rectas paralelas son cortadas por dos transversales, entonces los segmentos que se forman en una de las transversales son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra transversal.

Criterios de Congruencia de Triángulos Rectángulos

Criterio Cateto-Ángulo Agudo (CA=CA)

Dos triángulos rectángulos que tienen, respectivamente, congruentes un cateto y un ángulo agudo son congruentes.

Criterio Hipotenusa-Ángulo Agudo (HA=HA)

Si la hipotenusa y un ángulo agudo de un triángulo rectángulo son, respectivamente, congruentes con las partes correspondientes de otro triángulo rectángulo, entonces los triángulos son congruentes.

Criterio Cateto-Cateto (CC=CC)

Si los dos catetos de un triángulo rectángulo son, respectivamente, congruentes con las partes correspondientes de otro, entonces los dos triángulos son congruentes.

Criterio Hipotenusa-Cateto (HC=HC)

Si la hipotenusa y un cateto de un triángulo rectángulo son, respectivamente, congruentes con las partes correspondientes de otro, entonces los dos triángulos son congruentes.

Relaciones Métricas en Triángulos Rectángulos

T21: Teorema de las Relaciones Métricas

Dado un triángulo rectángulo, la altura trazada a la hipotenusa divide a esta en dos segmentos tales que:

• La altura es la media geométrica de estos dos segmentos.
• Cada cateto es la media geométrica de la hipotenusa y el segmento de la hipotenusa adyacente a dicho cateto.

Teorema de Pitágoras

El cuadrado de la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos.

Otros Teoremas Geométricos

Teorema de los Ángulos Congruentes

Un triángulo con dos ángulos congruentes es isósceles.

Ley del Tercero Excluido

La Ley del Tercero Excluido establece que, dadas dos proposiciones contradictorias, una de ellas debe ser cierta y la otra falsa (fundamental en la demostración indirecta o por reducción al absurdo).

Criterio Ángulo-Lado-Ángulo (ALA) o Lado-Ángulo-Ángulo (LAA)

Si dos ángulos y cualquier lado de un triángulo son congruentes con las partes correspondientes de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.

Teorema del Ángulo Exterior de un Triángulo

Un ángulo exterior de un triángulo mide lo mismo que la suma de las medidas de los dos ángulos interiores no adyacentes (o lejanos) a él.

Propiedades de Cuadriláteros y Paralelogramos

Corolario: Lados y Ángulos Opuestos del Paralelogramo

Los lados opuestos y los ángulos opuestos de un paralelogramo son congruentes.

Teorema de Caracterización del Paralelogramo (por Lados/Ángulos Opuestos)

Si los ángulos opuestos o los lados opuestos de un cuadrilátero son congruentes, entonces el cuadrilátero es un paralelogramo.

Teorema de Caracterización del Paralelogramo (por Diagonales)

Las diagonales de un cuadrilátero se bisecan mutuamente si y solo si el cuadrilátero es un paralelogramo.

Teorema de las Paralelas Equidistantes

Si tres o más rectas paralelas intersecan segmentos congruentes sobre una transversal, entonces intersecan segmentos congruentes en cualquier otra transversal.

Teorema de la Base Media del Triángulo

Si un segmento une los puntos medios de dos lados de un triángulo, entonces es paralelo al tercer lado y su longitud es igual a la mitad de la longitud del tercer lado.