Densidad de estados, energía de Fermi y conductividad electrónica en sólidos

Resumen

El documento explica conceptos básicos del comportamiento electrónico en sólidos cristalinos: la densidad de estados electrónicos, la función de Bloch, la energía y la superficie de Fermi, la masa efectiva y la conductividad electrónica. Un estudiante aprenderá cómo se llenan los estados energéticos y cómo influyen la curvatura de la banda y la temperatura en el comportamiento de metales y semiconductores.

Puntos clave

Cada valor de k corresponde a un estado orbital con doble degeneración debida al espín.
La densidad de estados n(E) indica la densidad de electrones con energía en un intervalo dE alrededor de E, por unidad de intervalo de energía.
La energía de Fermi (EF) es el nivel de energía más alto ocupado al llenar los N electrones desde los niveles más bajos.
La superficie de Fermi es la superficie en el espacio k fuera de la cual todos los estados están vacíos.
La masa efectiva se obtiene de la curvatura de E(k): m* = ħ² / (d²E/dk²); es pequeña en bandas anchas y grande en bandas estrechas.
En un metal la conductividad disminuye al aumentar T por la menor movilidad; en un semiconductor suele aumentar con T por el aumento de la concentración de portadores.

Ponte a prueba

Densidad de los Estados Electrónicos

Cada valor de *k* determina un estado orbital del electrón, con doble degeneración debida al espín. Es importante considerar que:

Los estados electrónicos siempre incluyen la degeneración de espín.
Cuando se considera un electrón, se asume que los electrones de cada espín están siempre incluidos.
Se define la densidad electrónica (*N*) como el número total de electrones por unidad de volumen.

A continuación, se discuten los siguientes puntos:

La energía (*E*) está cuantizada, pero su distribución de valores puede considerarse continua. Esto se debe a que *E* se incrementa en pequeños pasos enteros de *k*, lo que conduce a pequeños Δ*E* del orden de *ħ*².
Dada la distribución continua de *E*, la probabilidad de determinar un valor particular de *E* con precisión es nula.
Definimos la densidad de estados *n*(*E*), que es la densidad de electrones con energía en el rango *dE* alrededor de la energía *E*, por unidad de intervalo de energía.
La densidad de estados de los electrones se divide por *dE* para definir una cantidad independiente de *dE*. [Nota: La expresión *E* = *N*(*E*)*dE* en este contexto puede ser una simplificación o errata, ya que *N*(*E*) suele referirse al número total de estados hasta *E* o la densidad de estados se denota como *g*(*E*). La densidad de estados se define formalmente como *dn*/*dE* o *g*(*E*).].

Función de Bloch

La forma general de la ecuación de Bloch es: Ψ(*x*) = Formula *u*(*x*).

Energía de Fermi

Si tenemos *N* electrones en el cristal, se deben empezar a llenar los estados desde los niveles de más baja energía hacia arriba, hasta que se acomoden los *N* electrones. El nivel de energía (*E*) del estado ocupado de más alto valor se define como la *Energía de Fermi* (*E*_F).

Superficie de Fermi

La *Superficie de Fermi* es la superficie en el espacio *k* (espacio recíproco) fuera de la cual todos los estados estarán vacíos (superficies isoenergéticas).

Masa Efectiva

En el fondo de una banda, la *masa efectiva* se define ajustando una fórmula de electrón libre modificada a la curva real *E*(*k*). Así: *E*(*k*) = *V*₀ + [(*ħk*)² / (2*m*)]; *m* = -*ħ*² / (2*α*²). De esta forma, el electrón tiene una masa efectiva pequeña en bandas anchas, donde [?] (asumo que es un parámetro relacionado con la curvatura o la anchura de banda) es grande, y una masa efectiva grande en bandas estrechas.

La justificación de usar la masa efectiva, como una especie de "factor de ajuste" o "factor-trampa" en el Modelo de Electrón Libre (MEL), es que permite que muchas de las predicciones simples del modelo se apliquen de manera más general de lo que de otra manera sería posible.

La masa efectiva puede ser definida de forma más general como: *d*²*E*/*dk*² = *ħ*²/*m*^*; por lo tanto, *m*^* = *ħ*² / (*d*²*E*/*dk*²). La masa efectiva para los electrones en cualquier punto de la banda depende de la curvatura de *E*(*k*).

Conductividad Electrónica

Al elevar la temperatura (*T*), se incrementa el número de vibraciones térmicamente excitadas, lo que provoca que los electrones sean dispersados más eficientemente. En un metal, la conductividad disminuye al incrementar *T*, debido al decrecimiento de la movilidad. Sin embargo, al cambiar *T* en un semiconductor, puede haber un efecto mucho mayor en la concentración de portadores que en la movilidad, y la conductividad usualmente aumenta con la *T*.

Preguntas frecuentes

¿Qué es la energía de Fermi?

Es el nivel de energía del estado ocupado de más alto valor cuando se llenan los N electrones del cristal desde los niveles de menor energía hacia arriba.

¿Qué es la masa efectiva de un electrón?

Es una masa ajustada a la curva real E(k) que depende de su curvatura, de modo que el electrón tiene masa pequeña en bandas anchas y grande en bandas estrechas.

¿Por qué disminuye la conductividad de un metal al aumentar la temperatura?

Al subir T aumentan las vibraciones térmicas, los electrones se dispersan más y disminuye su movilidad, lo que reduce la conductividad.