Conceptos básicos de funciones y límites

Funciones y sucesiones

Definición de función

Una función es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto A exactamente un elemento, llamado f(x), de un conjunto B.

Definición de sucesión

Una sucesión es una lista de números escritos en un orden específico.

Propiedades de las funciones

Función positiva

Una función es positiva en un intervalo I de su dominio si se verifica que todos los valores de la función en el intervalo I son mayores que 0.

Función creciente

Una función f, definida en un conjunto D, es creciente en dicho conjunto si y sólo si para todo par de números x e y en D, si x es menor que y, entonces f(x) es menor o igual que f(y).

Límites de una función

Definición de límite

Definición de límite de una función en x=a: El límite de una función en x=a es el valor al que se acerca la función cuando x se acerca a a, y se puede representar en la gráfica como una línea horizontal que se acerca cada vez más a x=a, pero nunca toca el punto (a, L).

Propiedades de los límites

Enunciar 3 propiedades de límite de una función en un punto: Propiedad de la suma, del producto y del cociente.

Verdadero o falso

Indica si las siguientes afirmaciones son Verdaderas o Falsas. Justifica en cada caso.

Afirmación 1

El límite de una función en un punto es SIEMPRE igual al valor de la función en dicho punto.

Falso. El límite de una función en un punto no siempre es igual al valor de la función en dicho punto. De hecho, el límite puede existir aunque la función no esté definida en ese punto.

Afirmación 2

Para que exista el límite de una función en un punto, deben coincidir los límites laterales de la función en dicho punto y ese límite debe ser único y un valor real.

Verdadero. Para que exista el límite de una función en un punto, los límites laterales deben existir y ser iguales. Si los límites laterales son distintos, entonces el límite no existe.

Afirmación 3

Cuando el límite de una función en un punto es ∞, se lo considera indeterminado.

Falso. Cuando el límite de una función en un punto es ∞, no se lo considera indeterminado. En este caso, se dice que el límite es infinito y se puede calcular utilizando las reglas de los límites infinitos.

Afirmación 4

Se puede calcular el límite de una función en un punto donde la función no esté definida.

Verdadero. Se puede calcular el límite de una función en un punto donde la función no esté definida, siempre y cuando el límite exista. En este caso, se utiliza la definición de límite para encontrar el valor al que se acerca la función cuando x se acerca al punto en cuestión.