Conceptos básicos sobre funciones matemáticas y sus propiedades

Conceptos básicos sobre funciones matemáticas

Una función es una relación entre dos variables a las que, en general, llamaremos x e y.

• x es la variable independiente (en el ejemplo del ciclista el tiempo).
• y es la variable dependiente (en el ejemplo la distancia respecto al punto de partida).

La función asocia a cada valor de x un único valor de y. Se dice que y es función de x, lo que se escribe y = f(x).

Dominio de una función

Se llama dominio de definición de una función f, y se designa por Dom f, al conjunto de valores de x para los cuales existe la función, es decir, para los cuales podemos calcular y = f(x).

• Las expresiones polinómicas están definidas para todos los números reales: Y= 3x² + 2x -7. DomF= R
• Las expresiones con x en el denominador no están definidas cuando el denominador se anula. En la función 1 /x, la variable independiente, x, puede tomar cualquier valor excepto x=0, ya que el cociente 1/0, no existe. Dominf= R-(0)
• Las raíces cuadradas sólo están definidas para los números positivos. y = raíz cuadrada x - 1 -> x ≥ 1 . Domf= [ 1, +∞ )

Funciones definidas a trozos

Una función definida a trozos es aquella que utiliza varias expresiones para su definición, utilizando cada una de ellas en un determinado tramo del dominio de definición de la función principal.

Intervalos

• INTERVALO ABIERTO de extremos a y b es el conjunto de números reales x, tales que a < x < b, es decir, todos los números mayores que a y menores que b, no incluidos a y b.
• INTERVALO CERRADO de extremos a y b es el conjunto de números reales x, tales que a ≤ x ≤ b, es decir, todos los números mayores que a y menores que b incluidos a y b.
• INTERVALOS SEMICERRADOS O SEMIABIERTOS
  • [a, b) : es el conjunto de números reales x, tales que a ≤ x < b, es decir, los números mayores o iguales que a y menores que b (ahora está incluido a y no está incluido b).
  • (a, b] : es el conjunto de números reales x, tales que a < x ≤ b, es decir, los números mayores que a y menores o iguales que b (ahora no está incluido a y sí está incluido b).

Máximos y mínimos de una función

Máximo absoluto

Una función tiene su máximo absoluto en el x = a si la ordenada es mayor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.

Mínimo absoluto

Una función tiene su mínimo absoluto en el x = b si la ordenada es menor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.

Máximo y mínimo relativo

• Una función f tiene un máximo relativo en el punto a, si f(a) es mayor o igual que los puntos próximos al punto a.
• Una función f tiene un mínimo relativo en el punto b, si f(b) es menor o igual que los puntos próximos al punto b.

Propiedades de las funciones

Continuidad

Si una función y=f(x) puede representarse en todo su dominio mediante un trazo continuo decimos que dicha función es continua. Es decir, si puedes dibujar la gráfica de la función sin levantar el lápiz dicha función es continua.

Crecimiento y decrecimiento

• Si f(b) > f(a), la función es creciente entre a y b.
• Si f(b) < f(a), la función es decreciente entre a y b.
• Si f(a) = f(b), la función es constante entre a y b.

El crecimiento y decrecimiento de una función son propiedades locales, es decir, no se estudian globalmente, sino por intervalos.

Función creciente

Función decreciente

Una gráfica es creciente en un tramo si, al aumentar la variable independiente x, aumenta también la variable dependiente y.