Conceptos básicos de matemáticas: funciones, inecuaciones y trigonometría

Inecuación

Es una desigualdad entre 2 expresiones algebraicas, llamadas miembros de la inecuación, que está condicionada por los valores numéricos que se asignen a sus incógnitas. Las soluciones de una inecuación son los valores numéricos de las incógnitas que hacen cierta la desigualdad.

Inecuaciones de 1er grado

Son aquellas que se pueden expresar en otra equivalente a:

ax+b>0; ax+b<0; ax+b≥0; ax+b≤0 siendo a, b números reales.

Inecuaciones de 2º grado

Son aquellas que se pueden expresar como una de la forma: ax²+bx+c>0; ax²+bx+c<0; ax²+bx+c≥0; ax²+bx+c≤0.

Función

Una función f, es una correspondencia (relación) entre dos conjuntos A y B que asocia a cada elemento de A un único elemento de B. Se expresa de la forma f: A→B.

Función real de variable real

Es una relación o correspondencia que asocia a cada número real un único número real. Se expresa por: f: D → ℝ, x↦f(x)=y

Distinguimos los siguientes elementos de una función:

Dominio de una función f

El dominio de una función f, es el conjunto de todos los valores de la variable independiente x, que tienen imagen. Es decir, para los que existe f(x). Se expresa por D(f) o simplemente D.

D(f)={x / f(x) ∈ ℝ}

Recorrido de una función

Es el conjunto de valores que toma la variable dependiente y, es decir, el conjunto de las imágenes, tal que, f(x)=y. Se representa por Rec(f) o Im(f).

Gráfica de una función

Es el conjunto de los puntos del plano de la forma (x, f(x)) tal que x ∈ D(f).

Razones trigonométricas

Seno: cateto opuesto / hipotenusa

Coseno: cateto contiguo / hipotenusa

Tangente (tg): cateto opuesto / cateto contiguo

Cosecante (cosec): hipotenusa / cateto opuesto

Secante (sec): hipotenusa / cateto contiguo

Cotangente (cotang): cateto contiguo / cateto opuesto

Tangente (tang): sen / cosen

Cosecante (cosec): 1 / seno

Secante (sec): 1 / coseno

Cotangente (cotang): 1 / tangente = coseno / seno

Máximos y mínimos de una función

Máximo relativo

Una función presenta un máximo relativo en un punto x=a, cuando la función crece antes de a y decrece a partir de a.

Mínimo relativo

Una función presenta un mínimo relativo en un punto x=a, cuando la función decrece antes de a y crece a partir de a.

Máximo absoluto

Es un punto en el que la función adquiere su valor máximo posible, es decir, si la ordenada es mayor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.

Mínimo absoluto

Es un punto en el que la función adquiere su valor mínimo posible, es decir, si la ordenada es menor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.

Tipos de funciones

Función lineal

Es una función polinómica de 1º grado de la forma f(x)=mx+n ; m, n ∈ ℝ, m≠0. Su gráfica es una recta.

Función constante

Es una función de la forma y=n, cuya gráfica es una recta paralela al eje x. Su pendiente vale 0.

Para representar una función lineal (recta) necesitamos 2 puntos. Entonces hacemos una tabla de valores.

Función cuadrática

Es una función polinómica de 2º grado de la forma f(x)=ax²+bx+c, siendo a, b, c ∈ ℝ, a≠0. Su gráfica es una parábola.

Estudio analítico del dominio de funciones

CASO 1: Funciones polinómicas

Son de la forma f(x)=P(x), siendo P(x) un polinomio. D(f)=(-∞,+∞)

CASO 2: Funciones racionales

Son de la forma f(x)=P(x)/Q(x), donde P(x) y Q(x) son polinomios. D(f)=ℝ- {x / Q(x)=0} “Todos los números reales menos los que anulan el denominador”

CASO 3: Funciones irracionales

Son de la forma f(x)=ⁿ√g(x)

• Si n es impar ⇒ D(f)=D(g(x))
• Si n es par ⇒ D(f)={x / g(x)≥0}

Razón trigonométrica de un ángulo agudo

Se llama razón trigonométrica de un ángulo agudo a cada uno de los cocientes que se pueden establecer entre los lados de un triángulo rectángulo que contenga a dicho ángulo.