Conceptos Básicos de Sucesiones: Tipos, Propiedades y Límites

Definición de Sucesión

Una sucesión (a_n) es cualquier relación entre los números naturales y un conjunto de números reales, tal que a cada número natural n, llamado índice, le corresponde un número real a_n, llamado término.

Término General de una Sucesión

El término general de una sucesión, si existe, es la expresión algebraica que permite calcular cualquier término en función del índice.

Límite de una Sucesión

Una sucesión (a_n) tiene por límite el número real a cuando a medida que n toma valores cada vez mayores, los términos de la sucesión se aproximan tanto como se quiera al número a.

El límite se representa así: lim a_n = a. Si una sucesión tiene por límite un número real se llama convergente.

Sucesiones Tendientes a Infinito

• La sucesión a_n tiende a +∞, si dado un número real k, por grande que sea, existe un término de la sucesión tal que todos los siguientes a él son mayores que k. Se escribe lim a_n = +∞.
• La sucesión a_n tiende a -∞, si dado un número real k > 0, por grande que sea, existe un término de la sucesión tal que todos los siguientes a él son menores que -k. Se escribe lim a_n = -∞.

Conceptos de Más y Menos Infinito

• Más infinito (+∞): representa el concepto de ser mayor que cualquier número real.
• Menos infinito (-∞): representa el concepto de ser menor que cualquier número real.

Sucesiones Polinomiales

Una sucesión de polinomios de grado mayor que 0 siempre tiende a +∞ o a -∞ dependiendo del signo que tenga su término de mayor grado.

Indeterminaciones en Límites

Un límite se llama indeterminado cuando no se puede calcular directamente su valor.

Resolución de Indeterminaciones

• Para resolver esta indeterminación (∞/∞) se divide el numerador y el denominador por la máxima potencia de n que aparezca en la división.
• Para resolver una indeterminación del tipo ∞ - ∞ se manipulan las expresiones que intervienen para eliminarla o transformarla en otro tipo de indeterminación que se sepa resolver.

Propiedades de las Sucesiones

1. Si cada término es mayor que el anterior, la sucesión es creciente: a_n+1 > a_n.
2. Si cada término es menor que el anterior, la sucesión es decreciente: a_n+1 < a_n.
3. Si sus términos son siempre menores que un valor dado, se dice que la sucesión está acotada superiormente.
4. Si sus términos son siempre mayores que un valor dado, se dice que la sucesión está acotada inferiormente.
5. Toda sucesión creciente y acotada superiormente tiene límite real.
6. Toda sucesión decreciente y acotada inferiormente tiene límite real.

El Número e

El número e tiene estas propiedades:

• Es irracional, tiene infinitas cifras decimales no periódicas.
• Es trascendente, no es solución de ecuaciones algebraicas.
• Es la base de los logaritmos naturales o neperianos y aparece en infinidad de situaciones en el análisis matemático: crecimiento de población, cálculos financieros, etc.