Conceptos Clave de Álgebra: Ecuaciones, Polinomios y Funciones

Conceptos Fundamentales de Álgebra

Sistemas de Ecuaciones con Dos Incógnitas

Un sistema de ecuaciones con dos incógnitas puede representar rectas que se comportan de las siguientes maneras:

• Se cortan en un punto.
• Son coincidentes (misma pendiente y ordenada en el origen).
• Son paralelas (misma pendiente, diferente ordenada en el origen).

Por lo tanto, el conjunto solución puede tener:

• Un solo punto (sistema compatible determinado).
• Infinitos puntos (sistema compatible indeterminado).
• Ningún punto (sistema incompatible).

En resumen, los sistemas se clasifican en:

• Compatibles
  • Determinados (un punto de intersección, perpendiculares).
  • Indeterminados (infinitos puntos).
• Incompatibles (paralelas, sin punto de solución).

Cuadrado y Cubo de Binomios

• Cuadrado de un binomio: (a + b)² = a² + 2ab + b²
• Cubo de un binomio: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Incuaciones Lineales con Dos Incógnitas

Toda recta r de ecuación ax + by + c = 0 (ecuación de la recta), incluida en un plano, determina dos semiplanos opuestos (S₁ y S₂) de borde r. El trinomio ax + by + c toma valores positivos al sustituir las coordenadas de un punto interior a uno de los semiplanos, y valores negativos al sustituir las coordenadas de un punto interior al otro semiplano.

Función Cuadrática

Casos especiales:

• Si falta c: ax² + bx = 0 => x(ax + b) = 0 => x = 0 y ax + b = 0 => x = -b/a
• Si falta b: ax² + c = 0 => x = +/- √(-c/a)

Vértice:

• Xv = -b / 2a o Xv = (x₁ + x₂) / 2
• Yv = F(Xv)

Discriminante (Δ):

• Δ = b² - 4ac > 0: Dos raíces reales distintas.
• Δ = b² - 4ac = 0: Una raíz real doble.
• Δ = b² - 4ac < 0: No tiene raíces reales.

Raíces Evidentes de un Polinomio P(x)

1. Si P(x) no tiene término independiente, admite como raíz 0 (x₁ = 0).
2. Si la suma de los coeficientes de P(x) es cero, admite como raíz 1 (x₁ = 1).
3. Si la resta de la suma de los coeficientes de los lugares pares menos la suma de los coeficientes de los lugares impares es cero, admite como raíz -1 (x₁ = -1).

Polinomios y Raíces

Polinomio: Si 'α' es raíz de P(x), entonces P(α) = 0.

Raíz de un P(x): Se llama raíz de un polinomio P(x) al valor de la variable (x) que hace que el valor numérico de P(x) sea cero. Un polinomio tiene tantas raíces como su grado.

División Entera de un Polinomio P(x)

Dividir un polinomio P(x) entre otro polinomio divisor (no nulo) es encontrar otros dos polinomios, cociente Q(x) y resto R(x), que cumplan las siguientes condiciones:

1. P(x) = D(x) * Q(x) + R(x)
2. El grado del resto es menor que el grado del divisor.

Función

Una función de A en B (f: A → B) es una relación en la que todos los elementos de A se corresponden con uno y solo un elemento de B. Se cumplen las propiedades de existencia y unicidad.