Conceptos Clave de Álgebra Lineal y Gramática Inglesa Esencial

Matemáticas: Posiciones Relativas en Geometría Analítica

Posición Relativa de Rectas

Las rectas en el espacio pueden presentar las siguientes posiciones relativas:

• Paralelas: Sus vectores directores son proporcionales. No tienen puntos en común o son coincidentes.
• Secantes: Se cortan en un único punto. Sus vectores directores no son proporcionales y el sistema de ecuaciones que las define tiene una única solución (Sistema Compatible Determinado - SCD).
• Coincidentes: Son la misma recta. Todos sus puntos son comunes. Sus vectores directores son proporcionales y un punto de una recta pertenece a la otra.
• Que se cruzan: No son paralelas ni se cortan. Se encuentran en planos diferentes.

Para determinar la posición, se suele analizar el rango de la matriz de coeficientes (M) y la matriz ampliada (M*) del sistema de ecuaciones que las representa.

Posiciones Relativas entre un Plano y una Recta

Dada una recta y un plano, sus posiciones pueden ser:

• Recta contenida en el plano: La recta tiene infinitos puntos en común con el plano. El sistema de ecuaciones que los define es un Sistema Compatible Indeterminado (SCI).
• Recta paralela al plano: La recta no tiene ningún punto en común con el plano. El sistema de ecuaciones es un Sistema Incompatible (SI).
• Recta que corta al plano en un punto P: La recta y el plano tienen un único punto en común. El sistema de ecuaciones es un Sistema Compatible Determinado (SCD).

Para verificar, se puede sustituir la ecuación paramétrica de la recta en la ecuación del plano y resolver para el parámetro 't'.

Posición Relativa entre Dos Planos

Considerando dos planos, sus posiciones relativas se determinan mediante el rango de sus matrices:

• Coincidentes: Los dos planos son el mismo.
  • Condición: Rango(M) = Rango(M*) = 1 (Sistema Compatible Indeterminado - SCI).
• Paralelos: Los planos no tienen puntos en común.
  • Condición: Rango(M) = 1, Rango(M*) = 2 (Sistema Incompatible - SI).
• Secantes: Los planos se cortan en una recta.
  • Condición: Rango(M) = Rango(M*) = 2 (Sistema Compatible Indeterminado - SCI).

Generalmente, se forma una matriz con los coeficientes de las ecuaciones de los planos y se comparan sus rangos.

Posición Relativa de Tres Planos

Para tres planos, las posibilidades son más variadas y se analizan también con el rango de las matrices M y M*:

• Si Rango(M) = Rango(M*) = 1:
  • Los tres planos son coincidentes (SCI).
• Si Rango(M) = 1, Rango(M*) = 2:
  • Sistema Incompatible (SI). Posibilidades:
    • Tres planos paralelos y distintos.
    • Dos planos coincidentes y uno paralelo a ellos.
• Si Rango(M) = Rango(M*) = 2:
  • Sistema Compatible Indeterminado (SCI). Posibilidades:
    • Los tres planos se cortan en una recta común.
    • Dos planos son coincidentes y el tercero los corta en una recta.
• Si Rango(M) = 2, Rango(M*) = 3:
  • Sistema Incompatible (SI). Posibilidades:
    • Los planos forman un prisma (se cortan dos a dos en rectas paralelas).
    • Dos planos son paralelos y el tercero los corta.
• Si Rango(M) = Rango(M*) = 3:
  • Sistema Compatible Determinado (SCD). Los tres planos se cortan en un único punto.

Gramática Inglesa Esencial

Reported Speech (Estilo Indirecto)

Tabla de transformación de tiempos verbales y adverbios en el estilo indirecto:

Transformación de adverbios de tiempo y lugar:

Voz Activa y Voz Pasiva

Transformación de oraciones de voz activa a voz pasiva:

Oraciones Condicionales y "Wish Clauses"

Oraciones Condicionales (If Clauses)

• Tipo 1 (Real / Futuro posible):
  • If + Present Simple, Future Simple / Imperative / Modal.
  • Ejemplos:
    • If I feel better later, we will go shopping together.
    • If I am late, my parents worry.
• Tipo 2 (Irreal / Hipotético en presente/futuro):
  • If + Past Simple, would/could/might + base form.
  • Ejemplos:
    • I would read more books if I had spare time.
    • Jane could help us if she were here.
• Tipo 3 (Irreal / Hipotético en pasado - arrepentimiento):
  • If + Past Perfect, would/could/might + have + Past Participle.
  • Ejemplos:
    • If Mark and Jim had visited us, we would have been delighted.
    • If you hadn't been so busy, we could have met.

"Wish Clauses" y "If Only"

• Deseos sobre el presente/futuro (arrepentimiento o situación actual no deseada):
  • Sujeto + wish(es) + Sujeto + Past Simple / could + base form.
  • Ejemplos:
    • He wishes his house were bigger.
    • If only I lived near the school.
    • I wish I could improve my marks.
• Deseos sobre el pasado (arrepentimiento):
  • Sujeto + wish(es) + Sujeto + Past Perfect.
  • Ejemplos:
    • Pam wishes she and Tom hadn't broken up.
    • If only Sara had arrived earlier.
• Deseos sobre el futuro (que alguien haga algo):
  • Sujeto + wish(es) + Sujeto + would + base form.
  • Ejemplo:
    • If only he would call me.

Relative Clauses (Oraciones de Relativo)

• Defining Relative Clauses (Cláusulas de Relativo Definitorias):
  • No van entre comas.
  • Son esenciales para el significado de la oración; si se eliminan, la oración pierde sentido o cambia su significado.
  • Pronombres relativos comunes:
    • Who: Para personas.
    • Which: Para cosas.
    • When: Para tiempo.
    • Where: Para lugar.
    • Whose: Para posesión (cuyo/a).
    • That: Puede usarse para personas o cosas (en lugar de 'who' o 'which').
• Non-Defining Relative Clauses (Cláusulas de Relativo No Definitorias):
  • Van entre comas.
  • Añaden información adicional, pero no esencial, a la oración. Si se eliminan, la oración sigue teniendo sentido.
  • No se usa 'that' en estas cláusulas.