Conceptos Clave de Álgebra, Trigonometría y Geometría Plana

Ecuaciones e Inecuaciones

Discusión de Sistemas de Ecuaciones

Según el número de soluciones, un sistema de ecuaciones se clasifica en:

• Sistema Compatible Determinado (SCD): tiene una única solución.
• Sistema Incompatible (SI): no tiene solución.
• Sistema Compatible Indeterminado (SCI): tiene infinitas soluciones.

Tipos de Sistemas y Métodos de Resolución

• Sistemas Lineales 2x2: Se pueden resolver por los métodos de sustitución, igualación y reducción.
• Sistemas Lineales 3x3: Se resuelven habitualmente utilizando el método de Gauss.

Sistemas de Inecuaciones

Para resolver un sistema de inecuaciones, es fundamental estudiar el signo de las expresiones, a menudo utilizando una tabla de signos para determinar los intervalos de solución.

Semejanza

Figuras Semejantes

Dos figuras son semejantes si tienen la misma forma pero distinto tamaño. Esto implica que sus ángulos homólogos son iguales y sus lados homólogos son proporcionales.

El cociente entre las longitudes de dos lados homólogos se denomina razón de semejanza (k).

Puntos y Rectas Notables de un Triángulo

Rectas Notables

• Mediatriz: Recta perpendicular a un lado que pasa por su punto medio.
• Bisectriz: Recta que divide un ángulo en dos ángulos iguales.
• Mediana: Segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto.
• Altura: Segmento perpendicular a un lado trazado desde el vértice opuesto.

Puntos Notables

• Circuncentro: Punto donde se cortan las tres mediatrices. Es el centro de la circunferencia circunscrita.
• Incentro: Punto donde se cortan las tres bisectrices. Es el centro de la circunferencia inscrita.
• Baricentro: Punto donde se cortan las tres medianas. Es el centro de gravedad del triángulo.
• Ortocentro: Punto donde se cortan las tres alturas.

Trigonometría

El Radián

El radián (rad) es la medida de un ángulo central de una circunferencia cuyo arco tiene la misma longitud que el radio.

Se suelen utilizar múltiplos y submúltiplos del número π para expresar ángulos en radianes. La equivalencia fundamental es:

180º = π rad

Razones Trigonométricas

Para un ángulo agudo α en un triángulo rectángulo:

• Seno (sen α): cateto opuesto / hipotenusa (b/a)
• Coseno (cos α): cateto contiguo / hipotenusa (c/a)
• Tangente (tg α): cateto opuesto / cateto contiguo (b/c)
• Cosecante (cosec α): hipotenusa / cateto opuesto (a/b)
• Secante (sec α): hipotenusa / cateto contiguo (a/c)
• Cotangente (cotg α): cateto contiguo / cateto opuesto (c/b)

Relaciones Fundamentales de la Trigonometría

• sen² α + cos² α = 1
• tg α = sen α / cos α
• sen α · cosec α = 1
• cos α · sec α = 1
• tg α · cotg α = 1

Resolución de Triángulos

Es posible resolver cualquier triángulo (es decir, hallar todos sus lados y ángulos) si conocemos tres de sus seis elementos, siempre que al menos uno de ellos sea la longitud de un lado.

Reducción de Ángulos al Primer Giro

Para encontrar el ángulo equivalente a uno mayor de 360º, se divide el ángulo entre 360. El resto de la división es el ángulo coterminal equivalente en el primer giro (entre 0º y 360º).

Geometría Analítica en el Plano

Vectores

Un vector es un segmento de recta orientado. Se define por los siguientes elementos:

• Origen: Punto de aplicación (A).
• Extremo: Punto final (B).
• Dirección: La de la recta que lo contiene y todas sus paralelas.
• Sentido: El recorrido desde el origen hasta el extremo.
• Módulo: La longitud del segmento. Si un vector v tiene componentes (vₓ, vᵧ), su módulo es |v| = √(vₓ² + vᵧ²).
• Componentes: Son las proyecciones del vector sobre los ejes de coordenadas.

Conceptos Adicionales

• Representante canónico: Es el vector equipolente con origen en el punto (0,0).
• Vectores equipolentes: Aquellos que tienen el mismo módulo, dirección y sentido.

Operaciones con Vectores

• Suma y resta: Se pueden realizar tanto de forma analítica (sumando o restando componentes) como gráfica (usando la regla del paralelogramo o del polígono).
• Producto por un escalar: Consiste en multiplicar un número real (k ∈ ℝ) por un vector. El resultado es un vector con la misma dirección, sentido igual u opuesto según el signo de k, y módulo multiplicado por |k|.
• Producto escalar: El producto escalar de dos vectores u y v se define como: u · v = |u| · |v| · cos(α), donde α es el ángulo que forman. Analíticamente, se calcula como: u · v = uₓ · vₓ + uᵧ · vᵧ.